CHAPITRE PREMIER
De l'application de l'analjrse déterminée à la solution des problèmes de Géométrie,
125. L'Algèbre étant la science des rapports qui existent entre les quantités , on sent qu'elle doit être d'un grand secours dans la résolution des problèmes de Géométrie y dont le but est toujours de découvrir certaines propriétés dont jouissent les lignes 9 les surfisices , ou les volumes. Mais il sera plus difficile de se former une idée claire des circonstances que ce nouvel usage de l'Algèbre doit faire naître. Un seul problème jettera un grand jour sur cette matière.
124. Proposons-nous de trouver la base d'un triangle d'une hauteur connue, et dont la surface soit égale à celle d'un carré donné.
Soit a: la base cherchée , h la hauteur, et c le côté donné du carré : la surface du triangle sera •;- hx-y comme elle doit égaler le carré c', on aura donc l'équation \ hx = c^.
8o THÉORIE DES GOU&BES DU SSCOlfD OED&E.
Cette équation résolue donne a: = — . Ce résultat indique
que X doit être une troisième proportionnelle à f ^ et à c. En effet, on voit que le quatrième terme de la proportion
^ A : c : : c : J7 , est égal à — .
Fig. 45. Si Ton prend donc deux lignes (Jig, 45 ) AD = 7 A, CD =n c , formant entre elles un angle droit ; qu'on unisse les points A et C par une droite AC , qu'au point C on élève sur AC une perpendiculaire CB, la partie DB sera la valeur de x; car la ligne DC étant une moyenne proportionnelle entre AD et DB, on aur»
AD : CD :: CD : db,
ou « \h : c :\ c \ Xy
d'où l'on tire jc = -— .
iâS. Si nous examinons la marche que nous avons suivie, nous verrons que ]a résolution de ce problème se compose de trois parties : la première consiste à mettre le problème en équation , la seconde à leVésoudre y et la troisième à déduire de la valeur de x le procédé géométrique qui doit déterminer cette inconnue ; c'est ce qu'on appelle construire la formule.
£26. Différentes propositions de géométrie peuvent servir, suivant le cas , à mettre le problème en équation. Celles du carré de l'hypoténuse et des lignes proportionnelles en sont les principales. Le dégagement de l'inconnue ne peut offrir d'autres difficultés que celles qui tiennent à l'Algèbre ; mais il^ n'en est pas de même des constructions , ainsi que nous le verrons dans la solution des problèmes suivants , qui serviront à éclaircir ce que peuvent avoir d'abstrait des idées trop générales.
PKOBliHES DE G^OM . RÉSOLUS PAA L* ANALYSE O^TElLMINiK . 6 1
Problàhe I. '
Inscrire un carré dans un triangle,
127. La solution de ce problème se réduit à trouver sur la hauteur SG du triangle SOK [fig* 4^) ^^ point I, tel que la pa- Fig.46rallèleMN à la base, menée par ce point, soit égale à IG.
Représentons par a la base OR^ par b la hauteur SG, et par J7 et 2 les lignes inconnues IG et MN : les côtés OR et MN étant parallèles , on aura la proportion
a \ z \\ b : b ^ Xy
d'où Ton tire ab — ax z=: bz.
Si nous ne considérons que cette équation , la valeur de x est indéterminée. En effet , cette équation n'exprime que la condition du parallélisme des côtés OR et MN , et convient par conséquent à tous les rectangles inscrits dans le triangle : il *faut donc une seconde équation pour distinguer, entre ces rectangles , celui dont les côtés sont égaux : cette nouvelle équation sera z = j:.
Substituons cette valeur dans l'équation précédente :
, . ab
on obtient x =
i28. Pour construire cette valeur, on formera un angle arbitraire BAC (Jig. 47 ) > et prenant F>lî«47«
AD = ^, DB = <i = AC,
si l'on mène la parallèle DE à la ligne BC, qui joint les extrémités B et C, la partie AE sera la valeur de a?, car la propriété des lignes proportionnelle nous donne
AB : AC :: ad : ae,
ou rt -h ^ : « :: ^ : AE,
8a TSBoaix ous govbbks du stLCon» oftimcé
ab
d'où Ton tire AE = r = x.
129. On peut construire la valeur de x d'une manière plu» élégante. Pour cet effet , sur la base. OR = a de ce triangle Fig.48. [fig, 48 ) j formes un carré RT , et de Pextrémité S de la hauteur SG = ^ menez à Tangle T du carré la droite ST. Ia perpendiculaire PM ^ élevée au point où TS rencontre la l»ase y déterminera le côté du carré demandé : car les triangles semblables STU, SPG donnent la proportion SU : SG :: ST : SP, et les triangles semblables STO , SPM donnent cette autre proportion TO : PM :: ST : SP; et à cause du rapport commun ST à SP, on tire de ces deux proportions cette nouvelle
SU : SG :: TO : pm;
TO . SG ab
donc PM = ^^^
SU a
Problème II. ^
Fig. 49. 136. Partager une ligne AB (Jig, 49) ^/* deux parties. Belles que le rectangle qu'elles forment soit égal à un carré donné,
Nommons c le côté de ce carré , a la ligne donnée , et x Tune des parties : Fautre sera a — Xy et par conséquent
Cette équation, étant résolue , donne
j? == la -I- sIt^^ "^^^ ^* jc = |a — v'i tf^ — c*.
Ces deux valeurs sont positives, parce que )l\ a^ — c^ ne peut qu'être moindre que sTÇa^ ou que \ «*
151. Sî l'on ajoute ces valeurs de x ensemble, on verra qu'elles reproduiront a; ce. qui nous apprend qu'elles représentent chacune l'un des côtés du rectangle cherché; et, en effet, n'ayant distingué l'un de ces côtés par aucune condition 4)articulière , x conviendra indistinctement à Tun et à l'autre-
noBLims de géoh. résolus Pàm L'ANfti.Tsx DiârB&MiNéE. 83
La partie radicale devieni imagiBaîre, lorsque c surpasj|e y a; cela nous indique que le cété du carré ne doit pas excéder la moitié de la ligne donnée y pour que le problème soit possible.
152. Les valeurs de ^ se construisent de la manière suivante. Soit AB = fl {fig. 49), EB = ffl, je décr^ sur EB=|« un Fîg.49. demi-cercle EMB, et je prends une corde BM z=. c. La ligne M£ sera la valeur du radical ; car Tangle £MB étant droit , la propriété du carré de Thypoténuse donne
EB' = MB» + EM%
(Ml la»= C» 4- EM%
d»où l'on tire EM = sj ^ a' — c\
On prendra ensuite EN = EM , et mettant EN à la place du radical dans les valeurs de Xy la première deviendra
^ = I « -h EN = AE H^ EN = AN,
et la seconde se réduira à
^ = |à — EN = EB ~ EN = NB.
p&oBLiuE m.
155. Dwiserun triangle, par une parallèle à sa hase , en deux parties qui soient dans le rapport de m an,
IVommons a la base AB {fig^ 5o) de ce triangle AB.C> et h Fijy.So. hauteur CH, et représentons par G le point cherché par où doit passer la parallèle £F qui divise le triangle dai;^ J^ rap{y)rt demandé; les quantités inconnues sont QG = x^ EF :r; z»
Le parallélisme des lignes AB et EF nous donAe la proportion
