AB : EF : : CH : CG
ou a : z :: ^ h : Xy
d'où Ton tire ax =: hz,
84 TfiiÔKIE DM C00RBE8 DU SECOND OADEÈ.
. Il ne s'agit que de trouver une seconde équation qui expriihe la condition que la surface ABFE soit à la surface CEF dans le rapport àe m k n.
Le trapèze ABFE = ^^ (^ — *)•
ZX V
Le triangle CEE = — .
Par conséquent 9
(a -4- z) ,, , zJt
égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, et supprimant le diviseur commun 2 , on a
n [a -^ z) (h — d?) = mzx.
Mettant pour z sa valeur tirée de l'équation ax-= hz^ cette
seconde devient
max^
Multipliant par A, et supprimant a qui entre comme facteur dans chacun des membres, il viendra
n [h -h J?) [h — x) ■=: mx^y
bu n [h^ X^) = »fJ7%
d'où l'on tire x = ±:\/ — — - .
Fig. 5i. IS4. TPôur construire cette valeur, on prendra [fig* 5i) AD = m H- >? , et au point D on élèvera la perpendiculaire DC= A; et ayant tiré la droite AC, on construira en C l'angle droit ACB ; et la ligne GB, en venant rencontrer le prolongement de AD, déterminera la partie DB qui aura pour
expression — ; — .
PROBLiliS& D« Oiou* méSOLUS FAA L-ANAItYSX uiT&AMlNÉS. 8S
Cfir DB est une troisième praportionnelle aux ligues m + /t ^h...{^^X^^ <ljuas Fart. 194 un semblable cas.)
Ayant ensuite pris DE = /t, et décrit sur £B comme -diamètre le demi-cercle £MB , la ligne MD sera la valeur de x , attendu que la proportion
DB : DM:: dm :ed, ou : DM :: dm : «,
4onne , eo. égalant le produit des extrêmes à.celui des moyens,
m -\- n et tirant la racine ,
DM = dt\/I^=^.
11^ est évident que la partie positive DM doit être portée [fig. 5o) de G en G; et^ comme nous l'avons démontré dans Fig. 5o. la Trigonométrie (art. 26), la valeur négative doit l'être dans le sens contraire ; c'est ce que nous allons de nouveau > çonfirn\er par les considérations suivantes.
135. L'attribut des quantités négatives étant de sous-entendre un rapport d'opposition avec les positives , tel qu'une valeur positive so^t toujours détruite par une autre négative é^e, l0 présence d'une quantité ppsitiye devient nécessaire pour qu'on sache ce que signifie la négative.
Ainsi ayant trouvé un résultat tel que — a , pour en interpréter le sens y comparons-le à + ^ ? et ajoutons à Tune et à l'autre de ces expressions la quantité positive -f- c , plus grande que a y nous aurons les deux^quantités positive» c + a et c — a.
Si la ligne positive c + ^ représente la distance de D eu X {fig» 52), composée de DA=:c et de AX=a, la Fij.5a. ligne c — a représentera une distance moindre que nous
86 TBàOUM DBS COiniBBS DU SECOVD O&DftB.
devrons par conséquisnt porter dam le même sens de D en X' : or la distance XX' est égale à la différence sa des quantités 4?-ha et c — a;etside XX' = na on retranche AX = a , on venra que la ligne négative — a détermine un point %% situé à une distance de A représentée par a , mais portée en sens contraire que celui selon lequel on devrait porter la ligne positive + a : donc Fidée de la ligne négative nous rappelle celle de la positive qui lui est ^ale , et nous voyons que la négative doit être portée dans un sens opposé.
156. Il résulte de ce qui précède que puisque la valeur an radical prise avec le signe positif est représentée (fig. 5p} parla ligne GG , si Ton prend dans le sens contraire CG'= GG » on déterminera un second point G' qui satisfera au problème; en effet, puisque nous n'ayons pas exprimé analytiquement de quel côté notre triangle AGB était tourné , sa position reste indéterminée; par conséquent , en menant la parallèle £'F% le triangle E'F'G résout le problème d'une seconde manière.
P&OBIiiME lY.
£57. Sur le côté KC d'un triangle ABC, irout^run point M Fîff. 53. '^^ ^"^ ^^ parallèle MN à la base AB (fig. 53) de ce triangle soit égale à une ligne donnée m.
Soient AB = a, AC = ô, MN=iw, AM=:a?, on aura, CM = ^ — 07 ; et les triangles semblables GAB ^GMN donneront la proportion
AB : MN :: ag : gm,
ou a\ m :\ b ;. b^x\
d'où l'on tirera ab — axzémb^ ........ (ii3}
ab -^ mb et par conséquent x = -
PROBLÀM«S DS Giom. RI&SOLU8 PAJL I^*ANALTSB OKSXftMIVÉE. 87
ety en observant que b «st facteur commua,
i58. Par l'énoncé du problème , la ligne cherchée est plus, petite que AB; cette condition est sous-entendue lorsqu'on suppose que dans Téquation (ii^)a — m est une quantité positive ; mais avec cette restriction , le problème n'embrasse pas le cas bien plus fréquent où la ligne donnée M'N^ surpasserait AB. On sent que dans cette seconde hypothèse M' N' ne peut tomber que hors du triangle ABC. C'est ce que l'Algèbre nous montre , car lorsque m surpasse a y la quantité a — m devient négativedans la formule (114)9 qui peut alors s'écrire
t59. Dans cette seconde hypothèse , x étant donc négatif^ BOUS voyons que le signe même est compris dans l'inconnue. Maintenant que nous la connaissons , désignons cette inconnue avec le signe qui lui convient, en changeant ^en — x^ dans réquatioa (i i3) j on obtiendra celle-ci
ab -h ûA* = mb f
qu , papce que a est facteurcommun , devient
a{b -\^ x) =; mb , d'où Ton tirera la proportion
tf : « :: b : b 4-a?j
de sorte que nous voyons qu'au lieu de la différence b — «, qui exprime la distance du point A au point cherché , nous devons avoir une somme a -{- m de deux lignes qu'on portera de C en M' ; ce qui confirme ce que nous avons dit, que les lignes négatives doivent être portées en sens contraire des positives.
Cet exemple nous fait sentir comment on peut être conduit à une valeur négative, lorsqu'une restriction n'a pas été exprimée par TAlgèbre ; ou , sans qu'il existe une restriction dans renoncé d'un problème;^ lorsqu'une valeur de â?, que nous supposions positive, devait être négative, ou enfin lorsque X est susceptible de deux valeurs dont la négative nous indique une seconde solution du problème , à laquelle nous ne nous attendions pas.
140. On voit encore que les valeurs nég^tiyesf déterminent des positiçns de lignes différentes de celles que nou3 supposions d'abord. Aussi ferons-nous disparaître entièrement toute tracfî de lignes négatives , si renonçant à compter les a? depuis le point A, nous les comptons depuis le point C. Car dans ce cas nommant CM, x , et établissant la proportion
