AB : MN :: AC : CM

ou a \ m \\ h \ x^

à*6^ l'on tire x =: - m,

£t l'on voit que , quel que soit m , x sera toujours positif.

141. Les valeurs négatives nous avertissent donc que nous devons prendre certaines lignes dans un sens différent de celui que nous leur supposons, erreur où nous avons pu être conduits par quelque restriction dans l'énoncé du problème; tandis que les valeurs imaginaires nous indiquent toujours quelque impossibilité dans une question proposée. C'est ce que nous allons voir dans le problème suivant.

Problème V.

«. -^ 142. Une ligne AB étant donnée (fig. 54 ), trvaçer sur sa direction un point C dont la distance en A soit moyenne proportionnelle entre sa distance en B, et la ligne entière.

PROBLÈMES DE 6ÉOM. RESOLUS PAR L* ANALYSE DI^TERMIinÉE. 8g

Désignons par a la ligne donnée AB, et par x la distance de A an point cherché : la distance de B à ce même point sera donc a — x, et l'on aura, d*après Ténopcé du problème , la proportion a — x\x\\x\ a-^ égalant le produit des extrêmes à celui des moyens , on a

cette équation, étant résolue, donne

cette valeur est positive si l'on ne considè;re que le signe supérieur du radical , parce qu*on a

145. Pour construire cette première solution, élevez à l'extrémité de BA {fig> 56) une perpendiculaire AG égale à la ^lï*^» moitié de cette ligne. Par la propriété du carré de l'hypoténuse, on aura