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retranchant G£= Y a, il restera pour £B Vt a* -f- «^ — \a.

144. La seconde valeur de x, qu'on trouve en prenant le signe inférieur du radical, montre que, dans le sens opposé à A, on doit trouver sur le prolongement de cette ligne {fig. 54) ^^8- ^• un second point C qui satisfait encore au problème; ce qui ne

(*) Nous ne mettons pas ici le signe ±:, parce que lorsque nous con- Tenons tacitement de quel c6té doit se porter CB, le signe qui nous lUndique derient inutile.

QO TM^EIB DBS C0U&BE8 DU 8CCOHO ORDILS.

doit pas surprendre 9 parce que rien dans l'énonoé n'indique si le point oherobé doit être sur AB ou sur son prolongement.

145. On peut d'ailleurs considérer que , dans la première solution 9 X se portant de  en G , si nous voulons regarder x comme appartenant à la seconde , où nous savons que Tinconnue représente une quantité négative, il faut changer le signe dont x est affecté; ou, si nous ne le changeons pas, il faut adopter que ce que nous regardions oomme + to dans l'équation {a — x)a •=. x^^ doit être pris ici pour — x\ ainsi a — jr, qui est une différence , devient dans cette seconde solu^ tion une somme.

Et comme dans l'expression a — x , la valeur de x doit être* ôtée de AB, si Ton prend x dans un seD& opposé, son effet sera d'augmenter AB ; cette seconde valeur de x devra donc se porter de A en C, et (a — x) sera représenté par AB -f-AC, et notre proportion deviendra

C'B: AC :: AC : ab,

et satisfera encore à l'énoncé du problème , comme on peut le vérifier.

146. Nous venons d'examiner les deux hypodièses où la distance de A au point cherché est exprimée par une ligne AC tombant sur AB, ou par une ligne AC qui en est le prolongement; examinons maintenant le cas où il faudrait traverser

Fig. 55. toute la ligne AB pour atteindre le point C {fig* 55 ) situé sur le prolongement de AB, du côté de B, c'est ce qu'on pourrait énoncer ainsi : Trouver, sur le prolongement de la droite AB=:a, un point C" tel que la distance en k soit moyenne proportionnelle entre sa distance en B et la ligne entière.

Je vais démontrer qufaucun point de cette nature ne peut satisfaire au problème. En effet , la distance de A en C serait exprimée par a-\- Xj et la proportion deviendrait

FEOBLiMBS DK OliOM. RESOLUS VAE l'aHALYSB viTBBMlViz. 91

Or, il est impossible qu'une pareille proportion pdase sid>sister, car, dans toute proportion, le produit des extrêmes devant égaler celui des moyens , comme a -{- x surpasse à la fois a et a: , le produit (a + xY des moyens remporte nécessairement sur le produit ax des extrêmes. L'Algèbre nous manifeste cette impossibilité; car si nous réduisons notre proportion

en cette équation

ax=z (a -\- 0?)% on obtiendra

«' + «4? + jc' =: o ,

équation qui , étant résolue , nous donnera

qa , en faisan^ passer a ' hors du radical ,

Cette valeur imaginaire ne redresse donc pas l'énoncé de la question , comme les valeurs négatives , mais indique une absurdité dans cet énoncé.

PEOBLiMX VI.