OF' = EF» H*- 0E

ou OF»=rjc'H-«è;

donc OF ~ V^|c' -+- ab.

PROBLÈiâiS BB oieu. RÉSOLUS VAR. l'ahaltse DànEMim&E. gS Si je prends ensuite FK = £F = 7 c, j'aurai

^ OF = FK, ou OK =r s/jc^ H- ab — le,

pour la première valeur de x. Avec une ouverture de compas é^e à cette valeur, et du point O pour centre , je décrirai Tare KG qui déterminera le point G par où doit passer la sécante OG, dont la partie interceptée dans le cercle est égale àc.

tiSl. A regard de la seconde valeur de x , qui est

ou plutôt a? = — (j^jc^ -h ab H- 7 <?) ?

on voit qu'elle est entièrement négative et doit être portée dans un sens opposé à celui de OG; cela résulte de ce que rien dans la solution du problème n'a déterminé si le cercle donné était à droite ou à gâéche ; aussi , en prenant OA' = OA, le cercl^ dont le diamètre A'B' = AB appartient-il à la seconde

valeur de x qu'on portera de 0 en G', puisque la valeur absolue de cette ligne , c'est-à-dire en la considérant à part le signe , diffère de la première valeur de x de la quantité donnée c,

itf2. On conçoit bien que la seconde valeur doit se porter en sens opposé ; mais on peut demander comment cette valeur négative résout le problème. Pour répondre à cette question, il faut remarquer que l'équation {x-{-e)x=^aby qui renferme les conditions du problème, étant interprétée de la manière la plus simple, nous dit seulement que la distance de O à un point inconnu G, et qui est désignée par x , forme avec cette même distance x , augmentée de c , un rectangle égal à ab , r^résenté par le produit OB X OA. La solution du problème nous a appris qu'en portant la valeur positive de a?, de O en G, et la négative de O en G', les deux points G et G ' jouissaient de la propriété demandée.

L'idée de la circonférence AGDB n'est donc pas comprise

g6 THiORIS DES COUEBBS DU SECOND O&DAE.

dans l'équation (x'^^c)x = ab} mais les points A , C ^ D ^ B nous rappellent , par la propriété des sécantes extérieures , à la seule vue de la figure , dans quels rapports doivent être les lignes OB , OA , OC , OD , et peignent en quelque sorte , à l'aide de la Géométrie , Ténoncé du problème. La seconde solution nous apprend que si l'on fait OB' = ^ et OA' = ^ 9 on doit avoir la proportion

OC : OB' :: oa' : od'; '

^ et pour que cette proportion se peigne encore à nos yeux par une figure géométrique , on peut mener un second cercle A'D'C, qui nous la rappelle par la propriété des sécantes extérieures.

135. Ce prcblème, dans le fond , est le même que le problème second : aussi remarquons-nous que dans le cas de la valeur négative , j? et x 4- c , devenant — a* et c — x , sont représentés par les lignes OC et OD', égales aux lignes OD et OC , qui étaient les valeurs de x + c et de a: , dans le cas de la solution positive. .

Peoblèhe Vin.

Fig.6o. 1S4. ^yant décrit dans un angle droit DAh [ûg. 60) les deux arcs qui ont le même centre A, partager Vespace DLBE en deux parties égales , par un troisième arc concentrique.

Soient AL = c, AB = ^, AT = a: : on aura donc

aire DAL — aire ZAT = aire Z AT — aire EAB ;

et comme en représentant par i : tt ( Tifote neuvième) le rapport du diamètre à la circonférence , Taire du cercle qui est décrit avec un rayon rest toujours exprimée par irr' (*); les aires

(''<) Il faut remarquer que la circonférence du cercle décrit arec le rayon r, ayant 'xr pour diamètre , on déterminera cette circonférence

PKOBLiHES DE GEOM. RESOLUS PAU lVnâLYSE DÉTE&MINI^E. 97

DAL, ZAT, EABy qui valent le quart des cercles décrits avec des rayons a, x et by seront donc respectivement

|7ra% ^TX^ et \i:b\

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, elle deviendra

et en supprimant le facteur commun ~ tt, on réduira cette

équation à «^ — x^=zx^ — b^; et tirant la valeur de a?% on aura

a^ -h b^ a» — j passant à la racine ,

I8S, Pour construire cette valeur, on joindra les points ï'^g-^* D et B par une dmte DB ; sur cette droite prise pour diamètre, on décrira une demi-circonférence DGB, et partageant cette demi-circonférence en deux parties égales, au point G, la corde DG aura pour expression

En effet, DB^ = DA'' + AB^ = a» -h ^*; d'une autre part, DB' = DG» -h BG^ = 2DG»; donc

DG' = — = ^' "^ ^' -^ . /«' + b' 2 2

et DG = 1/—

On portera donc cette valeur de A en T et de A en T', et

par la proportion