PROBLÈMES DE GÉOM. RESOLUS PAE L^NALTSE DETERMINEE

L'ineonnae houe étant donnée par une équation du troisième degré , ooas ne donnerons pas la construetioD qui dépend d^un procédé que nous ne pourrons faire connaître que lorsque nous parlerons de la détermination des racines des équations du troisième degré par Pinterseotion ctes courber.

PROBLiME X. '

i«J7. Un angle BAR {^g. 62) étant donné, couper les lignes Fig-Gi. qui forment cet angle par une droite menée du point 0, dételle manière que cette droite intercepte dans l'angle BAR une surface triangulaire égale à un carré donné.

Quoique nous ne connaissions pas la position de cette ligne qui part du point 0, représentons-la par OR (Jig. 62), et nom- Fig.6a. mons AR, a: ; MP, /, et c le côté du carré : la surface cherchée

sera donc AMR == —, et par la condition de l'égalité des surfaces | on aura l'équation

Cette équation convient à tous les triangles qui peuvent avoilr pour^surface c % et par conséquent est indépendante de la position du point O 'y et comme de tous ces triangles le seul dont le côté opposé à Fangle A contient le point O dans sa direction , peut résoudre le problème, il faut encore exprimer cette condition : or, la position du point O est déterminée pËLr la perpendiculaire OK et par la ligne AK. Soient donc AK=aj 0K=:&; les triangles rectangles semblables RPM> RKO donnent la proportion

PR : PM :: BLR : ko,

ou X — AP : j : : j: -h a : è; (' 19)

cette proportion suppose bien que la ligne OR passe par le point O, puisque les lignes aet b, d'où dépend la position de

lOO TH^OKIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

ce point , y sont regardées comme connues ; mais tant qu'on ne détermine pas la valeur de AP, l'angle que BA fait avec AB. reste arbitraire; et comme cet angle est connu, nous devons avoir la faculté de déterminer convenablement AP; or, si l'on mène une parallèle OC à MA, la ligne GK sera connue, noiumons'-la d; les triangles semblables GKO, APM donnent la proportion

OK : CK :: mp : ap,

ou b : d :: y : ap;

dv donc AP = ~ ; au moyen de cette valeur, la proportion (119)

deviendra

égalant le produit des extrêmes à celui des moyens , et réduisant , on a

bx — djr := xy -{- ax;

substituant dans cette équation la valeur de ^ = tirée de

l'équation (118), on aura

, , 2dc^ 2ac^

bx z=z 2c^ -\ ;

multipliant par a;, et divisant en même temps par b, il

viendra

2e/c' 2c^x Tac'

faisant passer les x dans le premier membre ,

2,c^x 2dc^ nac^

T.c'^x fc/ -H «) . •

et *' r- = 2i Z — ^ y