PROBLÈMES DE GÉOM. RESOLUS PAR L ANALYSE DETERMINEE

si Ton observe que !a ligne </ + a = C A , en nommant e cette ligne, notre équation devient

aec

et donne , en la résolvant ,

lec^

1158. Pour construire cette valeur, nous pouvons d'abord la simplifier; car — étant le quatrième terme de cette proportion

^ : c :: c : — , se déterminera comme dans l'art. 124. Nom-

mons donc V cette quatrième proportionnelle, et, la substituant à -r dans l'équation précédente , nous aurons

Décrivons ensuite , avec un rayon e , un cercle dont le diamètre Q.e soit prolongé d'une partie égale à V ; de l'extrémité de ce prolongement, menons une tangente T au cercle : cette tangente sera la valeur <le l'expression radicale ; car une tangente étant moyenne proportionnelle entre sa sécante et sa partie extérieure , âdus aurons la proportion

. vî^ 2^ : T :: T : V;

égalsnt le produit des moyens à celui des extrêmes ,

T* = V H- 2eV; €t drânt la racine,

Connaissant V.et T, il sera facile de déterminer V -f- T et V — T pourles deuxîraleurs dex. On portera V-hT de A en R {fi^* 62), Fig. 62.

et menant la droite OR, ie triangle AMR sera là première solution du problème.

Pour avoir l'autre, je remarque que la seconde valeur V — T de X est négative : car il est évident que

\M -f- ijV > \\

et , en tirant la racine , on a

VVM-2^>V,

c'est-à-dire T >► V. On prendra donc l'excès de T sur V, et on le portera de A en R', et le triangle AM'R' sera la seconde solution du problème.

159. Ce problème donne deux solutions ; car, si nous examinons les conditions que nous avons exprimées algébriquement, nous verrons qu'elles convenaient au triangle AM'R',

JCY

aussi bien qu'au triangle AMR. En effet, Téquation c^ == —

suppose seulement l'égalité d'un carré c^ à un triangle formé par deux lignes qui , se croisant au point È^ , viennent rencontrer la ligne menée du point O. Cette équation peut donc appartenir à l'un ou à l'autre des triangles AMR , AM'^R' ; adoptons la seconde hypothèse, et par con^quenti>représentonsS; par A^'> et y par M'P'; en comparant 1^ triangles rectangles semblables P'M'R', KOR', nous établirons la proportion

AR' — AP' : p'M' :: kr' : oit,

ou X :^ \ y w a^x \ h\

égalant'le pix>dyit 4es extrêmes à celui ^es moyens, et élimi-