CHAPITRE IL De la construction des quantités rationnelles
160. Les problèmes que nous avons résolus font sentir la nécessité d'avoir des moyens généraux de construire les quantités que donne la solution des problèmes : nous nous occuperons d^abord de celles qui ne renferment point de radicaux, et qui sont comprises sous le nom de quantités rationnelles, et nous dirons qu'elles sont d'une, de deux ou de trois dimensions, selon qu'elles représentent des lignes, des surfaces on dq^ volume.
I04 THÉO&IE DES COURBES DU SECONb O&DRE.
Toute expression rationnelle , monôme d*une dimension , doit être cotnprise dans l'une des suivantes :
ah abc ahcd
£n efifet, il suiSt d^étre convenu de représenter les lignes par des Iet« tresy pour que la lettre a nous rappelle Pidée dMne ligne.
ah ah
161. Il en doit être de même de — ; car la proportion c : a :: & : —
nous montre que — est une quatrième proportionnelle aux lignes e y a
et 6.
162. La troisième expression -j- peut être écrite de cette manière ,
-^ X - j et si nous représentons par k la quatrième proportionnelle,
qui est la valeur de -5- (art. 161), on changera -r X - en — , qui se
construit par une quatrième proportionnelle (art. 161 ).
165. L-expression —7- se réduira de môme à une quatrième proportionnelle; car en récrivant ainsi, — X 7> ^^ supposera la ligne re-
* fs
présentée par — = P, et Ton aura -^t <I^^ ^^ construit comme dans
Part. 162. ^
m^ÊL ^ . ^ >> obc ahcd ahcde
lo4. Toutes les jractions telles que -^, — j-, y, , etc^ dans leS'
quelles le nombre de lettres du numérateur surpasse de deux celui des lettres du dénominateur, peuvent se construire, en les réduisant à lajbrme ah, par le moyen des quatrièmes proportionnelles. Cn la première fraction
ahc ah „ « . oâ
— 3-=-7Xc = Pc, en faisant -3- = ?; ad a
la seconde ,
ahcd ah cd ^^ . .ah ^ cd ^
-^=-Xy=PQ, en faisant — =P et j=Qi
la troisième,
ahcde ah cde Pcde . . . o^ n
et se rapporte à la précédente ; ainsi de suite.
CONSTRUCTION DES QUANTITIÊS RATIONNELLES. lo5
10S. Pareillement, l'expression la plus single de trois dimensions est ûbCf et peut représenter le volume d'un parallélipipède rectangle, dans lequel a, 5, c, seraient les trois arêtes contigues.
C'est à cette forme abc que Pou peut réduire, à Paide des quatrièmes
ahcd ahcde proportionnelles, toutes les fractions, telles que , — -r — , dans
lesquelles le nombre de lettres du numérateur excède de trois celui des lettres du dénominateur.
166. Lorsque le nombre de lettres du numérateur est le même que celui
des lettres du dénominateur, comme dans lesjractionsj-, --5, ces frac-
a lions sont de dimensions nulles, et représentent des nombres : car t
exprime le nombre de fois que la ligne b est contenue dans la ligne a ;
de même —3 représente le nombre de fois que la surface cd est renfermée cd
dans la surface ab.
167. Ce que nous disons des quantités rationnelles monômes s'applique aux polynômes : soit la fraction
abc -+• def -{- ^l abc ~\- def -+- f^hl ^
pq-hpr-^ps p{q-hr-^s)
je fais 7 -H r -f- j = A: , et je réduis ma fraction à
abc -^ def -i- ffhl abc def ghl ^ pk pk pk pk
et je vois qu'après avoir construit ces fractions , d'après l'art. 162 , j'aurai un assemblage de lignes dont la somme sera la valeur de ma fraction polynôme.
168. Si le dénominateur ne pouvait pas être décon^posé en«deux fac-
abc -\- def + t^l leurs , et qu'on eût ^ 2__ ^ on supposerait qn=px, rs =py,
X ei y étant de nouvelles lignes dont nous app'rendrons bientôt à
construire les valeurs; et la formule deviendrait ' *
abc-hdef-\-ehl abc -+- def -h gfe/ abc -\- def-\- ghl^ pm-^px-i-pjr "" p{m-hx -hx) ~~ pk^' '
en faisant, comme dans le cas précédent, m+x-hj'^A:. On construira cette formule par l'art. 162, dès que Ton connaîtra les valeurs dearetder.' ' ' .
I06 THtolIE DBS COUmBM DU SBGOHp OKDKB.
on
169. Pour les déterminer, Téquation qnz=px me donnera x= -2— , ce
qui me fait voir (art. 161) que x est une quatrième proportiounelle aux ligne* /? , 9 , n ; la yalenr de y se déterminera de môme, au moyen de Péqaatidn rs = px,
