Prenons encore la fraction =^. Afin de réduire le

mnp -h qr$

dénominateur à un seul prodoit, on supposera 9r=mx; alors x se déterminera par le procédé indiqué dans Tarticle précédent , et le dénominateur se changera en mnp + mxs. Faisant ensuite xs = ny, il

deviendra

ïïnnp -h mny =z mn{^p -\-jr) =. mnq ,

en nommant^ le* facteur {p-^y), et notre fraction se trouvera réduite à

ahcd -4-"'g|^ft ahcd ef^

mnq ' mnq mnq

et sera constructible par Part. 165. *

171* On voit qu?en général, dans toute fraction polynôme, si l'excès du nombre de lettres d'un terme du numérateur sur celui des lettres d'un terme du dénominateur, est de deux lettres , cette fraction peut se réduire à la forme ab ; si cet excès est de trois lettres , la fraction peut se réduire à la forme ahc,

172. r^ous supposerons que les termes du numérateur renferment chacun le môme nombre de lettres , et qu'il en est de même à l'égard du dénominateur, parce que la question qui nous a conduits à une formule n'*a pu noutf donner un résultat composé de parties hétérogènes, comme des lignes, des surfaces et des volumes : par exemple,

. ,, . abcd-hdbe , ^ abcd dhe . . ahcd

81 Ton avait ^ , ou plutôt —^ h -^, je vois que —j. — re-

J8 J8 Je JS

présentant une surface , et -rr- une ligne ^ on ne peut avoir une quantité composée d'une surface et d'une ligne.

175. Cependant il se présente une circonstance où une fraction cfc cette espèce peut subsister : c'est lorsqu'une des lignes qui entrent dans son expression est égaie à l'unité. Représentons par n cette ligne : on pourra , au moyen des puissances d^ n introduites dans les termes du numérateur ou du dénoqiinateur, qui ne coùtiennent pas la plus haute dimansioif, rendre apparents les facteurs qui- semblent manquer à ces termes.

CONSTEUGVIOIf DES RADICAUX DU DEUXliMB DEGRE. IO7

Par exemple, 00 changerait la fracUon

abcd -+■ dbe + hl abcd-h dben + hln*

. gQ I II »

fg Jg

174. Nous ayons yu , dans la Trigonométrie (art. 20) , qu^on pretnait quelquefois le rayon pour unité , et nous avons indiqué le moyen de passer de cette hypothèse à celle où primitivement le rayon est représenté par r.Le principe de Phomogénéité peut nous conduira au môme but; car, lorsqu^on nous donne, par exemple, la formule

af-^ec^h ' ^

on sent que tous les termes du numérateur, à cause de d*, devaient être

primitivement des quatre dimensions, et ne sont devenus tels quUlssont

que par le changement de r, de r', de r* en Puni té. L^opération contraire

sera donc de remplacer a par ar •, hc par hcr ', c* par c*r ; appliquant les

mêmes considérations au dénominateur, nous rétablirons Thypothèse

primitive du rayon désigné par r, en rendant la formule (l'Ji) homogène,

et nous écrirons

ar* -{- hcr * -f- c*r ■+■ d*

ag*-i- ecr •+■ br*