CHAPITRE V

De V équation à deux indéterminées, en général^ et de quelle manière elle donne naissance à une ' ligne, droite ou courbe, quon nommé le lieu de l'équation .

tft4. Lorsque, entre deux indéterminées x et y^ on n'a qu'irne seule équation , la valeur de Tune des inconnues ne peut s'obtenir qu'après en avoir assigné une arbitrairement à l'autre.

Par exemple , si Ton a l'équation

on peut la ramener à cette forme ( *)

faisant successivement

a? =r o , on trouve ^ = i ; ir = I, r = 3;

etc. etc.(**);

(*) C^est ce qu^il est facile d^obtenir en chassant le dénominateur;

car le second membre devient alors (* H- ^j' — 2 ) (4: — ^^ — 2), et se réduit à ** — (^ — 2 ), par la même raison que (a + *) (« — &) = «*— h*^ \\ ne s^agira plos que de développer le premier membre , et dVffacer les termes qui se détruisent.

(**) Ou pourrait bien donner des valeurs positives à y y pour déterminer celles de x ; mais le système de solutions serait le même : nous avons trouvé, par exemple, que x= 2 donnait j =: 5 ; en faisant arbitrairement r = 5 , on trouverait r = 2. '

Il4 THEORIE DES GOURBES DU SECOHD OEDRE.

de sorte que , pour chaque solution , il y a toujours une valeur de X et une valeur de / qui doivent se correspondre.

198. Examinons comment on a pu représenter par une figure cet assemblage de solutions.

Fig.67. On a imaginé deux droites indéfinies , AX, AY {fig, 67), formant entre elles un angle arbitraire, que, pour plus de simplicité , nous supposerons droit. On a donné à AX le nom à^axe des abscisses, et à A Y le nom à' axe des ordonnées,

i 96. Lorsqu'on veut construire une solution , par exemple , celle où .r = 2 et ^ =r 5, on prend sur l'axe des abscisses ime ligne AP = 2 , et menant à son extrémité P une ligne PM = 5, parallèlement à Taxe des ordonnées , le système des lignes AP et PM donne la solution.

Soit encore pris x = AQ =:: i; d'après le tableau de Fart. 194, j vaudra 3. L'on mènera donc par le point Q une parallèle QN à Taxe des ordonnées, et AQ et QN seront la solution du cas oti x =: i et y = 3. ^

Chaque solution détermine la position d'un point dans la figure : ainsi , dans nos deux exemples , nous avons déterminé les points M et N ; le premier au moyen des lignes AP et PM , le second au moyen des lignes AQ et QN.

197. On a donné en général au système des deux lignes qui déterminent un point , le nom de coordonnées : ainsi AP et PM sont les coordonnées du point M , et AQ et QN sont les coordonnées du point N.

Mais quand les coordonnées ne sont pas dénommées ensemble, celle qui suit la direction de l'axe des abscisses prend le nom à^ abscisse, et celle qui est menée parallèlement à Taxe des ordonnées 'prend le nom d'' ordonnée : ainsi, dans nos exemples, AP et AQ sont deux abscisses, et PM et QN sont deux ordonnées.