AP" = 3, . P''M

on déterminera une suite de points R, M, M', M^, tous assujettis à une même loi, puisqu'ils n^ont pas été pris arbitrairement.

800. Ce petit nombre de solutions n'est rien en comparaison du nombre infini de solutions que donne notre équation , même en se bornant à des abscisses moindres que AP". Par exemple^ si Ton substitue successivement dans notre équation ,

les valeurs fractionnaires x •=. y , on ti^uvera j^ =r 2 ,

Ainsi, en prenant [fig, 68) les abscisses Aç := 7, on fera les ordonnées qn z=z 2y

A^' = li, 9'«' = 4.

et les points R, «, M, «', M', n". M", se rapprocheront encore davantage.

201. On pourrait aussi avoir des abscisses et des ordonnées négatives : par exenople, l'abscisse négative Ar {^g. 69) , qui correspond à l'ordonnée positive rs , détermine le point s ; de même que l'abscisse négative Ar, qui correspond à l'ordonnée négative tu , détermine le point ui

2M, Nous venons de voir que les points trouvés h l'aide des coordonnées se rapprochent d'autant plus que les abscisses

Il6 THÉORIE DKS COURBES DU SECOND ORDRE.

diffèrent moins entre elles ; mais comment assigner la limite* du rapprochement de ces points? Pour lever cette difficulté , je vais démontrer que le système général de tous les points déterminés au moyen de V équation y •= 2 x-h i, en donnant succès^ siçement à x toutes les valeurs possibles, est une ligne continue. Si le système de tons ces points ne formait pas une ligne continue , cela ne pourrait arriver que de deux manières : ou il

Fig. 70. existerait des abscisses, telles que AP \fig> 70), qui seraient sans ordonnées correspondantes , ce qui ne peut être , parce que nous savons que toute valeur donnée k x en détermine une

Fîg.71. pour/; ou il arriverait [fig, 71) que deux ordonnées consécutives, telles que PM et P'M', différant d^une quantité sensible MM', il y aurait une interruption dans le cours de la courbe entre les points M et M', ce qui ne peut être encoire. En effet, d'après la nature de l'équation, toute valeur donnée à y étant admissible, une valeur au-dessus de PM, et moindre que P'M', ne pourrait se porter ailleurs qu'à Textrémité P de AP, parce que les ordonnées vont toujours en croissant dans le même sens. On déterminerait donc un point dans l'intervalle MM'; mais cela est contre cette seconde hypothèse. Il suit de ce qui précède, que le système des points déterminés par les coordonnées de l'équation j^ = 2 a: -f- i , donne naissance à une ligne continue , que nous reconnaîtrons bientôt être une ligne droite.

205. Cette démonstration peut s'appliquer à toutes les autres équations; et, lorsque la ligne n'est continue qu'entre certaines limites, il ne s'agit que de prouver seulement, comme nous le verrons (art. 2^8) lorsque n5>us parlerons des branches des courbes j la continuité des parties qui sont comprises entre ces limites.

804. La ligne que Ton vient de déterminer, art. 202 , an moyen des coordonnées , est ce que Ton appelle le lieu de l'équation, qui sera une ligneslroite ou courbe, suivant le degré de cette équation.