CHAPITRE VI

De V équation de la ligne droite,

206. L'équation du premier degré à deux inconnues , dans toute sa généralité, est Mj = No? H- P; divisant par M, elle

devient

et en faisant — = a , -- =r è, cette équation se réduit à MM

j = flj? H- Z>,

dans laquelle a el b peuvent représenter des quantités positives , négatives ou milles. Nous examinerons successivement tous ces cas. Supposons d'abord 6 = o et a positif, nous aurons réquation

qui , téduite en proportion , donne

Donc , la ligne qui est le lieu de cette équation doit avoir cette propriété , que toujours l'abscisse soit à l'ordonnée dans le rap port constant de i à «r. Pour savoir ce que signifie cette constante ât, je fais X = I , et l'équation y =: ax devient / = « ; donc la constante a est l'ordonnée qui correspond à x = i,

207. Ayant adopté le point A {Jïg. 72) poul* origine, et AX Fig.7a. pour axe, des^ abscisses, si je prends une abscisse AI égale à l'unité linéaire, et que j'élève une perpendiculaire IG sur son

Il8 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

Fi g. 73. extrémité I, la ligne droite AC, qui passe par l'origine et par le point G, sera le lieu de Téquation j = at; car, de Tun des points M de cette ligne abaissant arbitrairement la perpendiculaire MP, et nommant AP, x, et FM , j, les triangles rectangles semblables APM, AIG, donneront la proportion

AI : IG :: ap : pm,

ou i \ a :: X : y;

d'où l'on tire y = ax^ équation d'une droite qui passe par l'angine,

âOS. Les géomètres disent que a est la tangente trigonométrique de l'angle MAP, que notre droite fait avec Taxe des abscisses. En effet , le rayon des tables étant pris pour unité , si l'on compare le triangle AGI à un triangle semblable construit fivec le rayon des tables, on aura la proportion

AI : IG y, rayon \ tangente des tables, ou \ \ a \\ I : tangente GAI;

donc tangente GAI = a.

209. Lorsque la ligne droite ne passe pas par l'origine , elle yig.73. doit rencontrer (Jïg. 7 3) l'axe AY ou son prolongement AY', si elle n'est pas perpendiculaire à l'axe des x. Examinons le premier cas.

Soient donc AP et PM les coordonnées x ety d*un point M pris arbitrairement sur une droite BC qui coupe l'axe des ordonnées au point B; menons, par l'origine A, la droite AD parallèle à BC ; il est évident que

PM ou / = PD -h DM (128)

La partie PD de cette équation peut être considérée comme Tordonnéc qui , dans l'équation de la ligne AD, répondrait à JF = AP.

Pour déterminer cette équation, la droite AD passant par

EQUATION DC la LIGNE DROITE. 1 I9

TorigiDe, il suffît (art. 208) d'avoir la tangente trigpnomé trique

de raiigle DAX ; or, la ligne AD étant parallèle à BG , Tangle

DAX qu'elle forme avec l'axe deé abscisses est égal à Tangle

C£X que notre droite BC forme avec le même axe. Nommons a

la tangente trigonométrique de ce dernier angle ; a sera donc

aussi la tangente trigonométrique de Tangle DAX.' D'où il suit

que la droite AD a pour équation (art. 207) jr =z ax; Tor-

doDDée jr de cette équation devenant PD, lorsqu'on prend

j =: AP, on aura donc

PD = ax.

Le parallélisme des mêmes droites BC et AD prouve encore que DM = AB. Nommons b cette partie AB de Taxe des ordonnées , interceptée par notre droite , et substituons dans Téquatidn (128) les valeurs que nous venons de trouver pour PD et pour DM ; nous aurons enfin

y z=z ax -{- by équation de la droite (fui coupe l'axe des ordonnées et /ait un angle aigu avec cet axe.

210. Mais si la droite qui coupe en B l'axe des ordonnées, au lieu de faire avec cet axe un angle aigu YBC {fig» 73), fait Fig.73. un angle obtus YBC [fig. 74), soient AP = x, PM =7, les Fig.74. coordonnées du point M de la droite BC , nous avons évidemment

jr = AB ~ BQ (129)

Les signes des termes qui entrent dans cette équation ayant été déterminés d'après l'inspection de la figure , il ne s'agira que de substituer à AB et à BQ les valeurs absolues dont ces termes tiennent la place. Or, si nous désignons par b la constante AB et par a la tangente trigonométrique de l'angle aigu , supplément de l'angle BCX que notre droite fait avec l'axe des abscisses , en comparant le triangle BMQ à celui des tables , on aura la proportion