ÉQUATION DE LA LIGNE DROITE

au-dessous de l'axe des x , et par conséquent en sens contraire de celui des ordonnées que nous sommes convenus de regarder comme positives dans l'angle YAX, on a donc

/= — PM = — (PD4-DM)=— (PD-+-AB). (i3i)

Représentons par h la valeur absolue de AB, et désignons par a la tangente trigonométrique de l'angle aigu , supplément de l'angle obtus que fait la droite B£ avec Taxe des abscisses ; nous déterminerons PD par la proportion

\ \ a \\ X : PD,

ce qui me donnera

PD = ax.

Substituant ces valeurs dans l'équation (i3i), j'aurai

ou ^ = — f^^ — ^> équation de la ligne

qui forme un angle obtus avec le prolongement de Vaxe des ordonnées et coupe ce prolongement.

£15. Dans ces diverses équations de la ligne droite, trouvées art. 210, 211 et S12, nous avons recommencé la démonstration toutes les fois que cette ligne prend une nouvelle position. Il est bien préférable de déduire d'une seule équation tous ces cas différents, en changeant convenablement les signes de l'algèbre à mesure que notre ligne varie de position.

Ainsi, lorsque la droite BG, au lieu de former un angle aigu YBC [fig- 73) avec l'axe des ordonnées, en formera un Fig.73. obtus {fig. 74) j la tangente trigonométrique a étant négative, Fig. 74. l'équation y z= ax -\- b sera, comme dans l'art. 2 10,

ÎÎ14. Si. au contraire la droite EC (^g. 73), en changeant Fig. 73. de position, rencontrait l'axe des ordonnées sur son prolongement (/?g^r 76), la constante AB représentée ^ar b deviendrait Fig. 75.

122 THl^OBIE DES GOUBBES DU SECOND OKDBE.

négative, et Ton aurait, comme dans Tart. 211,

y :=:: ax — 6 ;

mais si la droite BC [fig* 76) rencontrait Taxe des y sur son

prolongement et formait un angle obtus TBG avec cet axe, les

deux termes du second membre de Téquation j = «j? -f- b

changeraient à la fois de signes et Ton aurait , comme dans

l'art. 21s,

^ =r — ax — by équation de la ligne

droite qui forme un angle obtus avec la direction de l'axe des

abscisses, et coupe son prolongement,

215. Lorsque ^r = o , réquation jr=. ox + 6 se réduit à r =:^ et ne Fig. 73. détermine plus que le point B {fig, 7$) à l^aide de la seule ordonnée AB ; mais si , au contraire, c^est a qui est nul , sans que x le soit , réquation y z=z ax-^h se réduit également à ^ = &. Dans ce cas, y conservant toujours sa valeur constante &, quelle que soit celle de jt, on voit que BC est alors parallèle à Taxe des x.

Si a est, au contraire, la tangente d^un angle droit , la cotangente de - cet angle est nulle ; d^où il résulte que CB se confond avec Tordonnée et que X n^a plus qu^une seule valeur, celle que détermine le pied de cette ordonnée , tandis que y reste quelconque.

216. Il résulte de ce qui précède que , pourvu qu*on regarde les constantes a et i^ de Téquation y =. ax'^- b comme susceptibles de pouvoir représenter des quantités positives, négatives ou nulles, les équations de toutes les lignes droites (suivant le cas) rentrent dans celle-ci, quelles que soient les positions de ces lignes; c'est pourquoi on dit que Téquation de la ligne

droite est

y =z ax -\- b (i32)

217. Lia position d'un point étant fixée, lorsqu'on connaît les valeurs a et p des coordonnées x ei y de ce point, c'està-dire lorsqu'on a les équations a: =:i a , j = p,, on a donné à ces équations le nom adéquations du point.

218. On pourrait donner plus de symétrie à Téquation de la ligne ^^Z' 77' droite de la manière suivante. Soient {Jig. 77 ] a et & les distances OA

et OB de Torigine aux points ^ et B où la droite rencontre les axes des