CHAPITRE VII

De Véquation de la ligne droite assujettie à passer

par des points donnés.

SI 9. Jusqu'à présent, la position de notre droite a été ûxée par les constantes a et ^. La première détermine l'angle que

{*) Il est à observer que la constante a de Péquation (i33) ne représente pas la même quantité que la constante a de Péquation (i32) j car nous savons que cette dernière est la tangente trigonométrique qui correspond au rayon i, et par conséquent doit être de dimension nulle j tandis que la constante a, dans l'équation (i33), est une ligne droite.

fait la droite avec Taxe des abscisses ; et la seconde détermine le point d'intersection de Taxe des ordonnées par cette droite , ou , ce qui revient au même , détermine le point qui a pour coordonnées o et ^. Il est bien évident que la position de cet|:e droite a dû être fixée, dès qu'on a donné un angle et un point connu par ses coordonnées.

S20. En généralisant cette idée , au lieu de donner le point sur Taxe des ordonnées , on peut le prendre en un «ndroit quelconque , et trouver l'équation de la droite qui , passant par ce point, fait avec Taxe des abscisses un angle dont la tangente trigonométrique est a .

Soient a et ^ les coordonnées de ce point : quoiqu'on ignore encore l'équation de cette droite , sa position étant fixée par ces deux conditions, et ne supposant pas que la tangente a de Fangle qu'elle fait avec l'axe des abscisses soit infinie , cas où cet angle est droit , et par conséquent où cette ligne est parallèle à l'axe des ordonnées, on conçoit que la direction de cette ligne doit rencontrer celle de l'axe désordonnées. Nommons b la distance inconnue de l'origine au point où notre droite coupe la direction de l'axe des ordonnées : cette droite aura donc pour équation (art. ^16)

jr = ax -^ b

Et puisque le point (*) a , p est sur la droite , dès qu'on donnera à X h valeur particulière a , y sera p ; par conséquent , notre équation deviendra

P = rta H- ^ ; d'où l'on tire b z=: p — aa, »

(*) Pour plus de brièveté, nous appellerons à Tavenir a, /3 le poii^t dont les coordonnées sont a et /3.

ÉQUATION DE LA DROITE PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS. IsS

Substituant la valeur de cette constante dans inéquation y z= ax -^ 6, on a

y •=. ax — «a -i- 3.

Faisant passer ^ dans le pnemier membre , et mettant entre parenthèses ce qui est multiplié par a dans le second, on obtient

y — ^ z=. a{x — a), . . .(i34) équation de la ligne assujettie à passer par un point a , p.

221. Lorsqu'une ligne est assujettie à passer par deux points, 00 sent que sa position est fixée. Représentons toujours Téquation de cette ligne par y = ax -\- b , et cherchons à déterminer les valeurs des constantes a et ^ , au moyen des coordonnées des points connus.

Soient a, ^ les coordonnées de l'un de ces points; a', p' les coordonnées de l'autre :

Ces points étant par hypothèse sur la droite, dont l'équation est y =z ax -^ b, donneront lieu aux équations

6 = aa -4- 6, J

Retranchant la première des équations (i35) de la seconde, et tirant la valeur de a de la nouvelle équation , on trouvera

Pour avoir la valeur de &, on multipliera la première des équations (i35) par a', la seconde par a; et, retranchant l'une de l'autre , il viendra

a'p. — ap' = ba! --■ btx , u a'6— -aô'

d OÙ Ton tirera b = — -, 5-.

126 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRt.

Les valeurs de a et de b étant substituées dans Véquation

f =z ax -h by on obtiendra

^ = 61:il,HÎizifÊ:. ...,.36,

a — a a — oc

pour l'équation demandée.

289. Pour parvenir à une équation beaucoup plus simple, on observera que, dans l'équation (i34) d'une ligne assujettie ài passer par un point, la constante a est arbitraire; mais lorsque la ligne doit passer par deux points, l'angle déterminé par cette constante cesse de l'être. Et, en effet, la valeur de a s'est offerte à nous en fonction des coordonnées de nos deux points , lorsque nous avons trouvé (art. 221)

3'— fi l'équation a = ^~ . Si Ton substitue donc cette valeur

dans l'équation y — p = a (x — a) , on assujettira la droite

à faire l'angle nécessaire pour qu'elle passe par le point a', p',

et l'on aura

f — P =z i-^ ^(jc — a),. . (137) équation de la

OL — a

ligne assujettie à passer par deux points.

Cette équation rentre dans l'équation ( 1 34 ), en remplaçant le coefficient àe x — a par a.

225. L'équation (137) est symétrique par rapport h l'un et à l'autre point , c'est-à-dire que les coordonnées a', p' n'y entrent pas d'une manière différente que les coordonnées a , p- En effet , si l'on retranche p' — p de chacun des membres de l'équation (137), pour que le premier se réduise à 7 — P') notre équation deviendra