CHAPITRE VIII

De Véquation de la perpendiculaire et de celle de la parallèle à une droite dont Véquation est donnée,

SSt. On a vu (art. SSl) que la ligne assujettie à passer par un point a^ p, pouvait passer par un second point a\ ^\ lorsqu'on disposait de a convenablement : on peut déterminer a par toute autre condition.

S5S. Proposons-nous de trouver Véquation cTune droite BC Fiff 80 (^' ^) ^^Hf^^^ à passer par un point donnéMy etperpendi^ euiaire à ta droite DG qui a pour équation

jr =z ax -{' b.

Soient a et ^ les coordonnées AH et HM du point M ^ et a' la valeur absolue de la tangente tngonométrique de Tangle GBX que cette perpendiculaire fait avec Taxe des abscisses : cet angle » dans le cas de l'équation générale que nous venons de donner^ est nécessairement obtus y parce qu'il vaut la somme des angles DGB et CDB , dont Tun DGB est supposé droit. L'équadon de la droite GB, qui passe par le point a, ^ ^ sera donc

(art. aae) ,

jr — p = — a' {x — a).

Rien ne distingue encore cette équation de celles qu'on obtient en général pour toutes les droites qui, passant par le point a, pf forment un angle obtus "avec l'axe des abscisses. Mais nous remarquerons que a' étant aussi la tangente de l'angle GBD f supplément de GBX , et GBD étant ce qui manque à l'angle GDB pour faire un angle droit , il en résulte que tan- ^nte GBD = cotangente GDB. Or, entre la tangente et la cotangente , il existe (art. 18) cette proportion :

tang : 1 :: I : cot,

EQUATIONS DE Vk PEKPENDIGULAIRB ET DE LA PARALLÈLE . 1 3 1

donc a : I :: I : a';

d'où l'on tire

Substituant cette valeur dans notre équation , nous aurons

r — P = — ~ (x — a), . (iSg) équation

d'une droite qui est perpendiculaire à la ligne dont Véquation

est y =: ax -Jf b^ et qui passe par un point donné d ^ p. [Note onzième,)

S53. Si , dans l'équation nous faisons .p = 6 et a = o , nous trouverons

jr— 6 = , OU X =1 \^ b.

pour l'équation de la perpendiculaire ES {fig. 82) sur la ligne ^'e-8a- DE, au point E où cette droite DE coupe Taxe AT des ordonnées.

Îfô4. Lorsqu'on mène une parallèle à la droite dont l'équation est yzizax-^by cette parallèle , formant nécessairement le même angle avec l'axe des abaisses, doit avoir pour coefficient de X dans' son équation la même tangente trigonométrique, c'est-à-dire , qu'en représentant l'équation de la parallèle par y z=a'x -\-b'y il faut que a = a\ Il n'en est pas de même des constantes b et b'-y car, si elles étaient égales, les deux lignes couperaient l'axe des abscisses au même point, et, comme a=za'y elles prendraient la même direction et se confondraient , ce que l'on ne suppose pas , puisqu'on distingue ces parallèles l'une de l'autre.

l32 tttiO&ÏB DIS COURBES DU SSCOllD OEDRÈ.