PROBLÈMES DE CKOM. RÉSOLUS PAU L*ANAL. INDÉTERMINÉE

nous avons

2' . 2(XZ ^ , A^2^ ^ 2Apz

Ordonnant par rapport à z , et observant que les termes en z^ ont les mêmes dénominateurs, et qu'en ajoutant les numérateui;^ , et rassemblant entre deux parenthèses ce qui multiplie z % ces termes en 2 * se réduisent à

c'est-à-dire à z'; formant ensuite un seul terme de ceux qui renferment z à la première puissance , parce que ces termes ont le même dénominateur, et transposant le terme r' dans le premier membre , Téquation précédente pourra s'écrire de celte manière :

Cette équation étant du second degré , donne deux valeurs pour z ; ce qui nous apprend que la droite qui fait avec Taxe des abscisses un angle dont la tangente trigonométrique est A , et passe par un point a, p, ne peirt couper le cercle qu'en deux points, puisque z exprime la distance de a, p au point d'intersection.

L'Algèbre nous apprend que, dans une équation de degré pair dont la plus haute puissance de l'inconnue n'a de coefficient que l'unité , la partie qui ne contient pas cette inconnue est égale au produit des racines (*) : par conséquent, si

{^) On peut immédiatement reconnaître cette propriété des équations dans celle du second degré , représentée par

r*-+- par -1-7 = 0;

l46 THÉORIE DES COUEBES DU SECOND ORDRE.

nous appelons z' et z'' les distances du point a, p aux deux points d'intersection, nous aurons

249. Si, du point a , p, nous menons une autre droite faisatit un angle A' avec Taxe des abscisses, il faudra changer A en A' dans Téquation (i47)> P^ur qu'elle détermine, par les deux valeurs de z, les parties de cette nouvelle droite comprises entre le point a , p et les points où elle est coupée ^ar le cercle. Soient t' eX.t" ces parties, comme A n'entre que dans le terme affecté de z , on aura encore

En comparant la valeur de ce produit t^ t" k celui de z ' z'\ on verra qu'ils sont égaux , et Ton aura l'équation

qui , réduite en proportion , donnera

2I$0. Podr lro|iver les propriétés géométriques renfermées

dans cette proportion , il faut que le point a , p soit donné de

Fi£[.9o. position. Supposons-le d'abord hors du cercle (fig* 90); me*

nons par ce point au centre du cercle une droite MO = /; cette

droite surpassant le rayon r, on aura

car, en la résolvant, et nommant x' et x" se» deux racines, on trouve

Multipliant Punepar Pautre, et faisant les réductions nécessaires dans le second membre de la nourelle équation , on obtient

PROBLÈMES DE GEOM. RESOLUS PAR l'aNAL. INDëTERMIIVKE. l^'^

Si ^ au lieu de r'% nous mettons sa valeur tirée de l'équation

ou r''^ = a- -f- p\

la condition nécessaire pour que le point a , p soit hors du cercle , sera exprimée par

On démontrerait de même que, si ce point était dans le cercle, on devrait avoir

âi^i. Supposons don<f que le point donné soit hors du cercle -en M (fig, 90) : alors z ' et z '' sont les deux distances ME et MF Fig. 90, à la courbe, d'une droite MF qui, étant menée du point a, ^ ou M , fait avec Taxe des abscisses un angle dont la tangente tngonométrique est A; de même ^' et t'^ sont les parties MG, MH d'une autre sécante partant du point M, et formant avec l'axe des abscisses un angle dont la tangente trigonométrique est A'. Donc, en mettant ces valeurs dans la proportion {i48), on la transforme en celle-ci :

ME : MG :: mh : MF,

ce qui exprijne la propriété des sécantes extérieures.

2^2. Enfin, si le point a, p est dans le cercle, z' et z" représentent les parties d'une droite comprises entre ce point et ceux où elle rencontre la circonférence : donc, s' et z" devenant les parties d'une corde coupée au point a, p par une droite dont les distances à la circonférence sont t' et t'\ et qui pair conséquent est une autre corde, dans ce cas, la proportion (148) nous apprend que deux cordes se coupent dans le cercle en raison réciproque.

l48 TITÉORIE 13ES COURBKS DU SF.COND ORDRE.