CHAPITRE XIII
Des branches des courbes.
255. Ij'équation du premier degré étant nécessairement celle d'une ligne droite y les autres lignes auxquelles on donne le nom de eourbes, ne pourront donc être construites que par des équations des degrés supérieurs au premier (*).
Le mot de courbe est pris, par les géomètres, dans im sens encore plus étendu : ils appellent courbe le système général de tous les points déterminés successivement au moyen d'une équation (art. 200) , en donnant à l'abscisse toutes les valeurs positives depuis o jusqu^à l'infini , el toutes les valeurs négatives depuis o jusqu'à l'infini négatif.
2Ô4. Il semble d'abord qu'une courbe doive toujours s'çtendre à l'infini dans les deux sens; mais on concevra facilement que son cours sera interrompu , si l'une des coordonnées devient imaginaire.
Fig.85. Prenons pour exemple le cercle (fig, 85) dont l'origine est sur la courbe , à l'extrémité A du diamètre , et qui a pour équation (art. 258)',
y ^ = 2ax — ar % ou 7 = ± ^7.ax — jc' =r ±*V^ (2a — jc).
Si ft)n donne à x des valeurs plus grandes que aa, le facteur 2fl — X sera négatif, et rendra tel le produit x (na — x) : donc
[*) Une courbe pouvant éb tracer dès qu'ion a une équation qui exprime la relation élablic entre les coordonnées, la loi qui détermine la position des points de cette courbe est donc implicitement renfermée dans son équation. Mais on se tromperait bien, si Ton pensait quô toute courbe dont les points sont assujettis à une loi donnée, dépend dVne équation d'un deg;ré limité ; car dans le calcul diflcrentiel , on connaît un genre de courbes appelées courbes transcendantes, qui ne peuvent appartenir à aucune des équations que nous offre TAIgèbre.
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les deux valeurs de y deviennent alors imaginaires; ce qui prouve que la courbe ne s'étend pas au delà de a: = aa , dans le sens des x positifs. Si l'on fait ensuite x négatif, en mettant pour X la valeur — a:', le produit x (2^ — x) deviendra
— x' (la -h x^)y
et restera toujours négatif, parce qu'il est composé de deux facteurs de signes contraires : donc j n'aura que des valeurs imaginaires , dans le sens des x négatifs.
Il résulte de cet examen , que la courbe est comprise , dans le sens des abscisses, entre o et 2a , c'est-à-dire entre A et B.
255. Il arrive quelquefois qu'une courbe, après avoir interrompu son cours, le recommence, parce que l'une des coordonnées qui , pendant l'interruption , était devenue imaginaire , redevient réelle. Nous en avons un exemple dans la courbe (^g. 91), dont l'équation est t'îg-O».
j» = o?^ — «' ou J =r ± ^^1 a»j
car en donnant à x des valeurs positives plus grandes que rt, cette équation donnera toujours pour chaque abscisse deux valeurs de j, qui s'accroîtront d'autant plus qu'on s'éloignera de l'origine O. De sorte qu'on aura les deux branches de courbe BM, BM', qui s'étendront jusqu'à l'infini dans le sens des x positifs.
Mais si l'on donne à a;* des valeurs comprises dans l'iuteivalle AB , entre x :=i a et xzzz — «, le radical devenant imaginaire , la courbe suspendra son cours ; mais elle le reprendra depuis x = — /z jusqu'à l'infini négatif, car ( — j:)% c'està-dire ic% surpassera de plus en plus fl% et l'on aura une seconde portion de courbe NAN' semblable à la première. '
2S6. Lorsqu'il y a , comme dans cet exemple , une interruption dans le cours de la courbe , on pourra prouver, par la démonstration de l'art. 202, la continuité des parties de la courbe pi ur lesquelles^ les abscisses ne correspondent pas à des orr
]5o THÉOEIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.
données imaginaires. Ainsi on démontrera facilement que les branches EM , BM' forment une ligne continue , et qu'il en est de même des branches AN, AN'.
237. Ces valeurs imaginaires des abscisses ou des ordonnées sont encore d'une grande utilité pour reconnaître le cours de certaines courbes , comme on peut le voir dans ceUe <pii a pour équation
•^ a —-t Passant à la racine , on a
faisant ;r = o , cette équation se réduit à
Fig.ga. et montre que y est nul à l'origine A {fi^. 92).
Si Ton donne ensuite à x une valeur négative — k , l'équation (149) deviendra
valeur imaginaire ; d'où il suit que la courbe ne s'éteod pas dans la partie négative de Taxe des abscisses.
Donnons à x des valeurs positives que nous supposerons d'abord plus grandes que a , et ensuite plus petites ; dans la première hypothèse , représentons par n une quantité positive, et supposons x -=: a-\- n. En substituant cette valeiïr dans l'équation (i49)> nous aurons
Cette valeur imaginaire de y nous montre que la courbe oe^
DES BRAKCHES DES COURBES. l5l
peut s'étendre au delà de Tabscisse AB = a {fig* 92), et que Fig.92. par conséquent si nous menons par le point B une droite in> définie RS parallèle aux ordonnées , il n'existera aucune partie de la courbe dans toute la région que cette ligne intercepte à notre droite.
Si la courbe existe , cela ne peut donc être que dans la partie qui correspond à AB ; c'est ce que notre seconde hypothèse va confirmer. En effet , si nous représentons par^ — m une (juantité positive moindre que a , et que nous remplacions x par a — m dans l'équation (i49)> ï^^us trouverons
la — m / *, V
et nous voyons que y sera réel tant que m sera au-dessous de^. Lf'ordonnée ayant deux valeurs, la courbe se compose (le deux branches AC %t AD qui ne rentrent pas sur ellesmêmes , comme dans le cercle 5 car plus la valeur a — ti} de X s'accroît et s'approche de a , plus l'ordonnée y de l'équation (i5o) augnaiente.
Il est à observer que l'abscisse étant représentée par AP [fig, 92) , l'équation x=xz a — m donne
w = « — X = AB -- AP = PB;
donc m n'est autre chose que la distance du pied P de Tordooiiée PM au point B. Or, plus cette distance diminue, plus les deux termes de la fraction qui est sous le radical xle l'équation (ï5o) tendent' à augmenter la valeur de cette fraction , et par conséqueiit celle de /, qui va en croissant jusqu'à l'infini. C'est ce que montre l'équation (i5o); car aiv dernier terme .de la diminution de m , c'est-à-dire lorsque
w = o, cette équation se réduit à j=:±^i/-=:oo. On voit donc que les deux branches de la courbe, au lieu
l52 THÉORIE DES COURBES DU SECOlfO ORDRE.
fig-^a. de s'arrêter en C et en D, se prolongent jusqua Tinfini, se rapprochant continuellement de la direction de la droite SR.
2^8. Il existe des courbes composées de parties dissemblables , mais qui n'en constituent pas moins une seule courbe , parce qu'elles dérivent de la même équation.
Par exemple , si Ton a l'équation
ay"^ — jp3 ^ ^^ — çj ^2 | ^^jp __ o^. ^,5,j
on trouvera, en faisant passer tous es termes, hors le premier, dans le second membre , et en observant que x est facteur commun ,
ay"^ = X {x^ -\- ex — bx — bc).
La quantité qui est entre les parenthèses revient à
(x ^ c)x — (x -\- c) b; et comme x-\- c ^st facteur commun , on peut récrire ainsi :
(x -h r) {x — b)-y d'où il résulte que l'équation (i5i)j)rendra la forme
ay^ = j: (a: -\- c)(x — ^) ; divisant par a , et tirant la racine , on obtient
En donnant à x des valeurs positives comprises entre o et by le facteur x — b sera toujours négatif; et , par conséquent, le produit de j; — b par celui des autres facteurs qui sont positifs donnera un produit négatif : donc y restera imaginaire , tant que x sera compris entre oelb; mais, au delà de x = b^ le facteur x — b devenant positif, la valeur de y sera réelle , et d'autant plus grande que x s'accroîtra 5 et comme j a deux.
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valeurs égales et de signes contraires , la courbe naîtra [fig. ojè) Fig. 93. au point B distant de l'origine A, d'une quantité AB = ^, et » prolongera , dans le sens des x positifs ^ jusqu'à l'infini ses deux branches BM, BM'.
On donnera ensuite des valeurs négatives à x^ en fmsant X =: — x', et Ton aura
=,±^îl(^L±^
Les facteurs xetx — b deviendront — x' et — (^'4- b)\ leur produit sera donc la quantité positive or' (a:' 4- ^). Quant au facteur x' -\'C ^îX sera remplacé par c — j?', et le signe du produit
dépendra de celui de c — x'. Or, c — x' . est positif tant que x' est moindre que c, et devient négatif dès que x ' surpasse c ; dans le premier cas, la valeur de/ est réelle, et, dans le second , elle est imaginaire : donc la courbe ne se prolonge , dans le sens des x négatifs , que depuis x = o jusqu'à 30 =z — c ; et, par conséquent, si l'on représente par AD l'abscisse — c, la courbe ne s'étend pas au delà de AD dans le sens des x négatifs. Elle est aussi limitée, dans le sens des ordonnées, dans cet intervalle ADj car la fonction de x' dont se compose j, n'admettant pas pour x' des valeurs plus grandes que c, cette fonction y a des bornes dans ses différents états de grandeur : donc la partie de la courbe qui répond aux x négatifs ne pouvant s'étendre indéfiniment dans le sens, des /, doit se trouver renfermée dans un certain espace , comme on le voit {fig, gS).
âcS9. Nous ne nous étendrons pas sur les propriétés des courbes , que l'on ne peut bien connaître que dans le calcul différentiel ; les notions que nous venons de donner sur leurs branches suffisent pour la recherche qui va nous occuper.
l54 THÉORIB DBS GQCBJSES Dti SKCOKD ORDRE.
