MF H- MF' < FF

{*) Quoique le sens génëral attribué au mot courbe comprenne toutes >es lignes, même la ligne droite, uous entendons par courbe, dans cet énoncé, seulement une ligne dont tous les pointa ne soht pa's dans une même direction ; autrement la ligne droite remplirait la condition requise j car scit FF' = a a (fg. 93 ) ; pour tout point M de FF', on a

FM -h F'M = aa.

Cette propriété de Tellipse appartient à la ligne droite, parce que oette ligne peut être regardée comme la limite des ellipses.

VB l'ellipsc. i55

et il en résulterait que les droites FM et FM qui partent des extrémités F et ï*-, ne pourraient se rencontrer, puisque leur somme serait moindre que la droite FF' qui les sépare. Il résulte de ce qui précède, qu'on ne peut avoir que

, FM -h F'M > FF',

c'est-à-dire ^ 2a ^ 2c , • • • (^53)

Cela posé, partageons la distance' FF' (fig. 94) ®^ ^^"^ Fig.94parties égales au point O, où nous, placerons l'origine ; nommons a:, X les coordonnées OP, PM du' point M , et soient z, z' les distances MF et MF' de ce point M aux foyers ; par la propriété du carré de Thypolénuse, les triangles rectangles MPF', MPF, donneront, lieu aux équations

F'M' =1 F'P -î-'PM^ = (OP -f- OF')» -h PM%

et- • ' ■' z'» =.(4r-i- c)^-4- j% (i54)

FM» =;r FP» -h VM' = (OP — OF)' -f- PM%

ou (*).z^ ~ (j?; J- c)a ^ j=, (î55)

auxquelles il faut joindre cette troisième , donnée immédiatement par la condition du problème .

F'M -+- FM = 2a,

ou • z' -+- z = 2« : (i56)

(* ) Si Pordonnée était prise dans VintervaUerFF' (,/gr. 94} , ces équalions (i54) ,«( i5â), ne subiraient aucun changement : car en prenant M' '• aulieudeM, nous nurioâs trouvé, à]a'placeder^quation(i54)9 celle-ci:

. F'M''= (OF'VOF)'H- P'îvr» OQ. xj'»=:(c-i-a:)«-f-r%

et Ton voit que *(c — x)* aurait îe ibàme développement que (x — c)» , dan» Féquatioii (i55); et en prenant M", lé changement du signe de c dans Tcquation (i55), et ceHiide x dans Téquation (i55), substituerait ces équations Tune à Pautre.

]56 THÉORIE DES COUABES DU SSCOlfD ORDRE.

Retranchant l'équation (i55) de Féquation (ifti), et réduisant ,

on obtiendra

z'^ — z* = i^x\ ....... (iS";)

et observant qu'en général unç expression de cette forme a * — b^ résulte du produit de « -f- ^ par a — 6, on peut écrire ainsi l'équation (157) :

(z' -h z) (z' — z) = ^cx',.

Si Ton y met la valeur z'-t-z tirée de l'équation (1 56), elle devient

2a (z' — z) =r ^cx^

\ et , en divisant par 20, donne