D»= FD*— 0F

qui a lieu dans le triangle rectangle ODF, par la propriété du carré de l'hypoténuse , deviendra , en y mettant les valeurs de OF, de FD et de OD ,

262. Au moyen de cette relation , nous changerons l'équation (i58) en

/' = -; (^' — ^') • • (ï60> ^q^ation

de V ellipse rapportée au centre.

t58 THEORIE DES COURBAS DU SECOND ORDRE. .

Chassant le dénominateur 'et laissant le té^me constant daûs le second membrie , cette équation peut se mettre sous cette forme plus symétrique ,

265. Pour analyser la courbe, résolvons séparément son équation, par rapporta x et par rapporta^, ce qui nous donnera * * #

y = ±^ yja-' — X' (i64)^

Or, on voit que si l'on fait 7 = 0, dans Téquation (i63) , elle devient

o et se réduit à ■ jt = ± « ;

la première de ces valeurs, donnée par le signe supérieur, étant positive, sera comprise depuis l'origine* O jusqu'au point B , où la courbe rencontre l'axe des abscisses; et l'autre, comme négative, sera comprise dépuis l'origine jusqu'au point A , où la courbe coupe l'axe de âr ; la ligne 2a représentée par AB sera donc partagée en deux parties» égales à l'origine ; cette ligne porte le nom de grand axe de Vellipse, Si l'on fait de même j: = o dans l'équation (i64), l'ordonnée qui passe par le point où x est nul, c'est-à-dire p^ l'x»rigine, aura ces deux valeurs égales et de signes contraires, -h ^, — A. Il est évident que la première sera représentée par OD, et la seconde par OE ; la ligne DE =: 2^ sera donc aussi partagée en deux parties égales à l'origine : on a donné à cette ligne le nom àe petit axe. Si des points de l'ellipse compris depuis B jusqu'à D , on abaisse des ordonnées sur le demi-grand axe BO, on verra que la partie négative qui est sous le radical de l'équation (i64)

DE l'ellipse. ï5j '

diminuant successivement, la ligne représentée par le radical s^accroîtra à mesure ; d'où il suit que les ordonnées depuis B jusqu'à D vont toujours en croissant; et comme le carré x^ appartient aussi bien k ~\- x qu'à — x, on voit que les ordonnées positives situées sur la partie négative de l'axe des. . abscisses y poftées dans le quadrant DOA, passeront par les mêmes états dé grandeur que les ordonnées positives portées dans le quadrant DOB; par conséquent, l'arc DA de l'ellipso sera semblable en tout à Tare DB.

264. Nous n'avons employé jusqu'à présent que le signe supérieur du radical de l'équation (i64); mais si nous nç prenons que le signe inférieur, l'équation (ï64) déterminera pour y des valeurs égales et situées en sens contraire de celles dont nous venons de parler;.. ce qui établira au-dessus de l'axe des x une partie AlËfr absolument semblable à la partie ADB.

Enfin, si dans l'équiBition (i64) on donne à x une valeur plus grande qu&a,' en faisant j?=:a-h«, cette* équation donnera

Cette v^eur imaginaire de y prouve que la courbe ne s'étend pas au delà de l'abscisse OB ; et comme a est aussi bien le carré Hé — X que de -+■ a?, on voit qu'en donnant à — j? la valeur — (flf-^-a), on tombera sur l'équation (i65), ce qui prouve aussi que la courbe ne s'étend pas au delà du point A.

26i5. L'équation (i63) construirait la même courbe en prenant le petit axe pour celui des abscisses, et le grand axe pour celui des ordonnées. En effet, le point M {fig* 96), Fi{r g6. déterminé par les coordonné es^

OP = JT et PM = /,

r6o THEORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE.

Fig. 96. le serait également, si Ton prenait ( fi^l 96 )

* OQ = ^ et QM = a;.

. On prouverait donc avec l'équation (1 63) ,par les mêmes raisonnements qui ont été ap{)liqués à l'équation (i64), que la courbe ne peut s'étendre au delà du petit axe.

266. Ce qui précède nous fournit les moyens de décrire l'ellipse par points, lorsque le grand axe et le petit axe seront donnés. Pour cet effeÇ, on commencera par déterminer les foyers en décrivant avec un rayon a parti de l'extrémité D du petit axe, deux arcs de cercle qui couperont le grand axe aux points F et F' ; ayant ensuite partagé AB en deux parties Fig.95. 'inégales (*) B/z, kn {fig. gS), on les prendra pour rayons de deux arcs de cercle que Ton décrira des fàhyers F et F' comme centres. Geftarcs, en se coupant, détermineront deux points M et M' de l'ellipse; car, d'après cette construction, la somme des rayons vecteurs FM et F'M vaudra le grand axe AB , ^un ayant de -plus ce que l'autre a de moins.

On peut aussi décrire l'ellipse par un mouvement continu; pour cela on fixera à deux points F et F' les extrémités d'un fil égal à AB, et tenant ce fil tendu avec un style que l'on fera mouvoir, on tracera l'ellipse , car on aura toujours

FM -h F'M = AB = 7.a.

267. Les foyers jouissent encore de la propriété d^étre les seuls points de la surface de Tellipse dont la distance à un point de la courbé est une fonction rationnelle de Pabscisse de ce point. Fig.on. Pour le démontrer, nommons s la distance MN d'un point N {Jig. 97) pris dans l'intérieur de l'ellipse à un point M de la courbe; a, /3 et jc,^, les coordonnées de N et de M ; la distance MN de ces points sera donnée (art. S5I$ ) par l'équation

{*) Si ces lignes étaient égales , le procédé que nous indiquons ne servirait qu'à déterminer les extrémités E et D du petit axe <]ue nous connaissons.,