D£ L ELLIPSE. « ICI

tt en dévelopfkant le» carrés , on aura

«'*^=x« — aax-h a«-hr' — 2/3r-fT^' (166)

Le point M appartenant à Pellipse, nous pouvons remplacer^ par sa valeur tîrée de Téquation (161) , et il viendra

*«=x« — aax-+-a»-f-fc*— ^x'qza^yi* — ^ar*H-^'. . (167)

Pour que cette valeur puisse être rationnelle, il faut qu^elIe soit délivrée du ^dical : i'est à quoi Ton parviendra , en remarquant que la position du pointa, /3 étant arbitraire, nous pouvons disposer des coordoilné(8 de ce jioint pour la déterminer convenablement à la question . Ainsi, en faisant ^ = o^ Téquation (167) se réduira à

«* = x» — 3aar-i-^»-+-&»-^x« (168)

Cette valeur nulle de Tordonnée fi nous montre déjà que le point N d0. être situé sur Taxe des x; a restant indéterminé, disposons-en d<^ani^ que la valeupde z soit rationnelle : c^est ce qui aura lieu si le second membre de Inéquation ( 168 ) est un carré parfait. Pour cela , réduisons les termes en x* au même dénominateur, Téquation (168} prendra cette forme :

„ z* =z -^ — i« — aax-h «*-hi* ;

remplaçons a' — &' par $a valeur c*, que donne Téquation (160) j nous aurons

«' = — x'— 2ar-ha*-+-i* (169)

Compacpns maintenant le second membre de Téquation (169) au carré

parfait A.* ^ aAB-hB', nous verrons que A sera représenté par — ,

racine du premier terme du second membre ; et , pour que cette ex-

•pression entre dans le terme aax, nous écrirons ainsi ce terme;

2— X -«, ce qui n'en cbangepas la valeur* alors - a tiendra la place a c c

de B. La condition nécessaire pour que le second membre de Téqua-

tion (169) soit un carré, sera donc qu^on ait

l62 THÉORIE Des COVRBES DU SECOND ORDRE.

équation jpar laquelle nous déterminerons ee ; nous en tirons

et comme (art. 261) ^* — c» = 5% cette équation se'réduil ^