OP = AP — AO
ou X 1=1 x' — a.
Cette valeur étant substituée dans l'équation
on obtiendra
>■'= "1 (^^•^' — ^'*)» • • • ('73), équation de i'elffpse ra^ortée au sommet A.
971. Quoique nous ayons été conduits à cette équation en supposant que l'abscisse x comptée du centre correspondait à un point pris sur la partie DBE de Tellipse, Téquation rue serait pas altérée si ce point était pris sur la partie DAE ; car alors l'abscisse devenant négative, au lieu de
on aurait x ■= — [x' — «);
t€d THÉORIE DE» GOUEBBS OU SECOND ORDRE.
expression qui , étant élevée au carré , nons rangerait 4^1a va^ leur de x^ qui a servi à transformer Téquation de Pellipse rapportée au centre en celle où l'origine est au sommet. *
Fig.og. 272. Soient a et 6 les coordonnées OP et PM (Jîg. 99) 'd'un point M de Tellipse , et a', 6' les coordonnées OP' et P'M' d'un autre point M' : mettons successivement ces valeurs à la plsœe de or et de / dans Péquation (161] de l'ellipse, nons aurons
donc 6» : 6'» :: - {a' — a») : - (a' — a"); . . (174)
et supprimant le facteur commun ~ , 0L observant que
{a} — a}) = (fl H- a) [a — a) , et que le produit («* — a'*)
peut se décomposer de la même manière , Féquation précé^ dente deviendra
c'est-à-dire
vw : vw : : (oa -h op) (ob — op) : (oa -h op') (ob — op'), ou PM» : P'M'» : : AP X PB : ap' xp'b ;
par conséquent, dans l'ellipse, ie carré d'une ordonnée menée sur le grand axe est au carré d'une autre comme le produit des distances du pied de la première de ces ordonnées aux deux sommets est au produit des distances du pied de la seconde à ces mêmes sommets {*).
27S. Si Ton veut compter les abscisses sur le petit axe, Fîg.gS. soient(^g'. 96) a:' et y' les coordonnées OQ et QM d'un point M
('*') Cette propriété nous fournit le moyen de Récrire Tellipse par
DE L^^EXIPSB. l65
dans cette nouvelle hypothèse ; on aura [fig. g6 ) Fig. 96.
OP = QM, MP = OQ,
ou X =\y', ^ = a/.
Substituant ces valeurs dans l'équation (162) , nous trouverons
«'x'^+ b^'/^^z a^b\. . . (176) équation de l'ellipse rapportée au petit axe y V origine étant au èentre.
On voit que cette équation est de même forme que l'équation (162).
L'équation (19^)9 étant résolue^ nous donne
et nous montre que 7' a toujours des valeurs égales et de signes contraires 9 ce qui prouve que le petit axe, comme le grand , partage la courbe en deux parties égales et absolument sem* blabfès.
S74i. .Le petit axe, sans Pexcentricité , ne différerait pas du grand axe; aussi, Iprsque les points F et F' coïncident, cas où c est nul, l'équation (160) se réduit-elle à b z=: a^ et par suite, l'équation (162), en supprimant le facteur commun a*,
poiots; car lorsqu^on connatt deux coordonnées a,€, et qa^on prend arbitrairement Tabscisse a', Péquation (175) nous donne
(a-t-a) (a— a) a et € éMint donnés^* et ayant pris ex.' arbitrairement , on voit que tout
sera connu dans le second membre de cette équation : et comme
et 7 ^^-v4 4 Bont des troisièmes proportionnelles, que noua
(an- d) (a — a)
représenterons par F et par Q , bous aurons donc &* =PQ ; par conséquent^ en prenait une moyenne proportionnelle entre P et Q, nous 4>ourrons déterminer Tordonnée € ', qui appartient à Tabscisse k.
l66 THÉORIE DES COURBES DU SECOND ORDRE,
devient
ce qui est Téquation du cercle fart. 258).
273. Si Ton décrit, sur un même diamètre 2a , un cercle ^ une ellipse, et qu'on nomme j' et y" les ordonnées de Tellip^e et du cercle, correspondantes à une même abscisse j:,'1'équa-^ lion de l'ellipse donnera, entre x et /', cette r^ation ;
y' = !i (^' - ■^')-' et celle du cercle donnera , entre x et j '', cdfe-ci :
Éliminant «' — a:' entre c€s deux équations, on trouveip
jr'^ =
et
, passant à la racine ,
d*où Ton tire la proportion
ce qui nous apprend qiie V ordonnée du cercle esî à ceUe de VeWpse dans le rapport constant du grand axe au petit axe^
On pourra donc déterminer les ordonnées de l'ellipse au moyen de celles du cercle, lorsqu'on connaîtra le rapport du grand axe au petit axe de Tellipse.
276. Si l'on considère qu'une ligne divisée par une autre exprime un rapport, et que aet b sont constants, on reconnaîtra, d'après l'équation (161) , que l'ellipse est un cercle àoçi les ordonnées sont multipliées par un rapport constant.
D'où il suit qu'un cercle incliné projeté sur 1^ plan par des perpendiculaires abaissées de chacun des. points de ce cercle suV
M l'ellipse. ^ 167
(9 plan y trace une ellipse pai(pe que chacune des coordonnées d^cette. ellipse équivaut à l'ordonnée du cercle qui aboutit au même point, multipliée par le cosinus de son inclinaison (*).
4 Wt, Le paramètre est la double ordonnée HH' {fig> 96) qui Fig.96. passe pftr le foyer (**) . Pour le déterminer, on substituera donc à x^ dans Tj^quation de Tellipse , Tabscisse c du foyer; et, en nommant p l'ordonnée qui répond à cette valeur de x , l'équa-
tien r' = — (a} — x'^\ deviendra
Mettant^ à la place ée^'.-^ c% sa valeur ^' donnée par Téqua- » tion {160) , on%ura ' . *
et en multipliant chaque membre par '4 ,
Tirant la racine de chaque membre de cette équation , on obtiendra
» * ip =z i^V- ;
. *^.)P pour le démontrer, soient BC (/gf. G4) l'ordonnée/, AC^j- cell« Flg.64. de TelIit^Ve, et B Vangle dUnclinaison ; on a k • - ♦
i : cos B :; .r ' î r j donc y ^ y' cos B. • . ^ n
(^*] Les gé&mèires du siècle dernier 'désignaient par les constantes a e.\.h \è graâd axe et le petit axe ; les modernes, soit parce quMls rap* portimt plus conimanément l'origine des coordonnées au Qontre, soit pour simplifier 1«6 calculs et leur donner plue de symétrie , désignent ces axes par an et aô , et Tanalogie leur a fait appeler le paramètre ip «t Tezcentricité ac.
l6d THEOKIE DES COURBES Dl^SECq^lD OKDRE.
ce qui nous apprend que le pa^amètte ip est une troin^èoÊ^., ^ proportionnelle au grand axe et au petit axe':
