Si Ton substitue la valeur -de — dans Téquadon
a fl^ ^
de Tellipse , on trouve
y = ~ («* — or'), équati^ de V ellipse < rapportée au paramètre.
279. Déterminons maintenant Téqu^tion de la tangent^ à Tellipse. Pour cet effet, nous remarquefons quedan^une cour^ -
Fig.ioo. quelconque la corde ou sécante M'' M' {'fig^ loo) se change ea
une tangente à la courbe lorsque , Tare V^lM ,dev€;pant nul /les " points M' et M" coïncident. Exprimons cettegconditioil an^lytiquement. Soient donc j;', j\ et x'\ y" les coordonnées des points M' et M"; la sécante IVfS \fig- ioo)> qwi ^st te prolongement de la corde M' M''', n'étant lutre chose qœ la droite assujettie à passer par les points x\ ^^ et afl ^ y ^ nous déterminerons l'équation de cette droite en Substituant, dans la formule (137) ( page 126 ) , les coordonijdes j/, ^ et aé' ^ y" des points M' et M" à la place de *, p et de a', p' ; nous trouverons , pour l'équatioa de la sécanlfe M' S ,
Les points M' et M" appartenant à Tellips^, Téquafion (i6j de cette courbe rapportée au centre devra être ^tisfaite |)ar'I coordonnées x' ^y' et x" ^ y" des poin^ M'-ft M", et nous aurons ,
Q} y'-^^ ^ h-" x'^ ^ a'b\ a^y^'-hà^x'^^^^a^bK (179)* Retranchant la première de ces équations de l'autre, on'oq^ent
a^y^ — y'') -f- h'^i^'' — a7")=r o; . .. .• (180) ft par la raison qu'en général a" — b*=i (a -^ b) (a -^ b)^
réqliation (180) peuyLfle décomposer ainsi en facteurs
et donne :^r — ^ = ; — tt , •
Au moyen de cette valeur, T équation (178) de la sécçinle deviendra r .
La corde M' M'' sera J^iDgente* à la conrbelorsque.les points M' et'M" coïncideront ,et qujpn/aura par conséquent
substituant ces valeurs dans Téqu^tion (181), supprimant le diviseur commun 2, et observant que dans^pe cas Tangle S devient r^ngle MTt , ou , plus simplement, l'angle T, et que ' {'équation (181) se transforme en celle de la droite TM , oH aura
h'^ x' ♦ / — 7'= . —f [xA-x^), . . ( 1 82) , éqaation
fc » *
de la tangente au pôi/^tM ( ** ).
Laissant 'Je terme x seul' dans le preriiier membre , pour pouvoir ^mparer cette éq dation ^réquatio]ïj(i3;i) de la ligne droite (art. 2164, on voit, par ce rapprochement, que ce qui cbulliplie x — x^ dans l'iquatittn (iSa) est la tangente tri-
■ .■■ I ■ ^'t ' •' m ■■ ■ I ■ ■ ■ I ■ I II I ■ Il I !■ m
(^) Si l'on avqit substîlué immédiatement ces vallurs de x" et de y*' dans 4'équation (178), le coefficient de a: — x' se serait réduit à ~ : or il est .démontré , en Algèbre et dans mes Éléments de Calcul différentiel, liue ce cas n'arrive que par la présence d\in facteor comman , dont il faut délivrer la fraction pour (^^on en puisse connaitiPë la vraie valeur. , (-*-«) Le signe négatif affecte le second membre , parce que , d'après la ^. 99, la sécante et la tangente tombent, comme dans le cas de ^^fë^ 74 {^^- 2^0)) Aussi en écrivant de cette manière r#{uation (182},
reconnait'on' qu'elle est tout à fait de la forme de Téquation (art. 210) d'une droite qui coupe à angle obtus l'axe des y.
Ni
Ii^O THÉOIUE DBS GOUEBSS OU SECOND OlLD&E.
F2ff. 101. gOQométrique d^ l'angle formé par la ta||genteMT {fig* loi) avec Taxe de x ; par conséquent , nous avons
tacag tri g* de l'angle T = -j (^8^)
SÔO. Exprimons cette valeur.en fonction de Tangle O que la droite OM, menée par le centre au point cle [taDfjënoe, fait avec Taxe des abscisses , les coordonnées du point M étaîit x* • ' ^' j'y nous aurons
x' : y :: 1 :.tangQ; ''
d'où nous tirerons -7 = — — ;f ;
par conséquent , l'équation (i83) deviendra . tafig trig, de V angle T = -
La valeur de tang tri g. de V angle T n'étant point affectée dû double signe , il s'ensuit qu^on ne peut mener qu'une sèulç tan- • gente à un point donné M de l'ellipse. Si c« point domïé est le'f sommet B de la courbe , comme les coordonnées a/, y' de M cfe-
viennent , dans ce cas , 3if-=. a et ^'= o , l'équation ( 1 83) donne
h^ a tang trig, de V angle T := — -* —
-i-oo
ce qui montre que la tangente en.B est paralléfe'itu petit a^e* * Fîg. foo. M^* si ^^ poîit M s'ap^oche de D {^fig, 100), j/ diminue en mène temps que x' s'accroît j ces valeurs de a:' et de ^ ' tendent . donc l'une et l'autre à diminuer la valeur absolue du second membre de ré(|uation (iBS), c'est-à-dire à diminuer l'angle MTO (Jfg. 100), ou à rendre l'angle MTX plus obtus. £a£v,. < lorsque le point M arrivera en D , la valeip* de tang tfvg, ^ de V angle T ( équat. i83) deviendra nulle , et par conséquent ^ cette tangente sei^a parallèle à l'axe des x.
Il serait fisicile de faire des observations analogues dans les autres* quadrants de l'ellipse. #
