PE L ELLIPSE
S8I. On peut rehdive l'équatipn de la ta/^gente plus symétrique. Pour ella ,' ohàsàaat le dénominateur dusecgnd meml:ipe de Téquation* (i82), et faisant passer les termes en «'' «» en 7'' dans le ^ecomd a^embre , on -obtiendra
cette équation , au moyen de Féquation (162J, se réduit à
* ^ a^ry' '\- h'^xad ^ a^b^ (i85)
Telle est, sous la forme la plus simple, Téquation de la tangente sta point ,r', y^.
182. Si au point de contact on mène une perpendicu- ,laire Mp. (fig. lôi) à l»l:ânge.nte , cette perpendiculaire porte ^^- *<>*• * le nom de normale, U est facile , d'après l'art. 252 , de déduire . * réquadon de cette normale de celle de la tangente. Pour cela , il sçiffît dereiiVéhser la fraction qui multiplie x — x' dans Técpi^iDu (f 8i) 5^^et de la prendre négativement , et Ton trouvera
r -^ y.=^ jz S P^ — ^')v ' • (186), équation
de îa normale au point x\^y\ l'origine étant au centre.
Il ne faut pas confondre les équations de la tangente et de la normale avec ce uu'on appelle la tangente et la normale : \^ ligne dont on donne Téquation a une grandeur îddé&iie|, tandis que la tangent&^t la norniale sont des droites ' dqpt la Ibngileur' est déterminée. Ainsi la tangente au point M '^fiS* ï^ï) ^* la» dtoijte MT, qui s'éçpnd hors de la courbe de- Fig.xoi .pois le point de contact «jusque sur le prolongement de Taxe des X ^ et la nontaàle au même peinVest la droite MR, qui, ferpendiciflaiï^ à ^ tangente au point de contact , s'étend depuis ce poini jusqu'à la rencontre de Taxe des x dans Tintéfieur][4e Ja courbe.*
285. La partie PT [fig^ iôt)de Taxe des abscisses, comprise Fig.ioi. entre te pied P de l'ordonnée du point de contact et le point T où la tangente rencolitre Taxe des abscisses y porte le nom' de soui'tangente.
172 * THEORIE PBS X:ODHB£S,DU SECOND^ OR0&K.
Kig. loi. Pour la déterminer, cherchons d^âbord la Valeur OT {fig. 1 ô ij de l'abscisse où 1â tangente MX rencontre TaSe des ^7; pouc cela> il sufHra de faire / == 0 dans Téquation (186) , qui nous * donnera ■* . * '■ *
• . Maintenant , si de OT nous retranchons Tabscisse OP ^ i' du * point. M , nous aurons, pour la sous-tangente ,
.PT =r -^ — x', ^' . *
et . en réduisant au même dénominateur, ^ -%,
jons' tangente = r""-"* »-^« •, • • (ïw)
Fig.ioi. 984. La partie PR (yf^. loi) de Taxe desk^abscisses ^cinlipnse entre le piçd P. de l'oifldonnée PJJf et lé point R où 1^ normale rencontre Taxe des abscisses, porte leno^.de soUsnormale (*). Nous la déduirons facilement de Téquation de la » normale; car en faisant y"=,o dans Féquation (186), pour avoir l'abscisse x du point.où la norn^aie rencontre l'axe des x , nous obtiendrons, çn enaçaut j' des deux membres;
et par conséqi^nt
Or Tabscisse x étant celle du point R , ou ^ =: o dans Féquation de la normale., ^\J étant l'abscisse 0^ du point "M, on
(*) Par cette définition et celle dé la sous-tangente, on TOit que la sous-tangente et la sous-normale sont les projections de la tangents et de la normale sur Taxe des abscisses.
» Di. ft!sLLIPSE. ■ ' • >1*7S
vwqne la (Ufféreace ^ — «^ne sera" autre chose, que la sonsnornlaie RP; par conséquent nDus auront
souS'TtMnale := ~ «^Z, «' (*^)
l'origine étant au centre,
- 285. Les expressions de la sous-tangente et de la sous-nor-
male^nous^ront connaîtra facilemeqt celles de la tangente MT
{fig* liffi) etde la normale J^R*^car la tangente et la normale £|f(.roQ.
^îantwks hypotéiiuse»dés tri^gle§ rectangles PMT^RMP, on a '
e^ression deiatang, = y(sou^tâng.)^^-f-(ordôn.)*,
expression de la normé.»^=: v(^us-noriïi*)' -h (ordon.*)^ ^
et en mettan^œ valeurs indiquées, on trouve^ Verigiaei^de l'el» lipse étant au centre, * ^*
grpress. de ie^ng. de VeWpse =1/ ( -; — - — V H — ^(«*— y«),
express, de la nornii de VeWpse =.\/ -^ j:'^ ^ __ ^^i^^i^
ste. L'équation (187 ) nous fournit le moyen de mener y ne tangente à nm. point M Fellipse. En effet, si sur le demi-grand axe « l'on décrit la demi - circonférence ANB [fig- io^)„ etFig.ioa. qu'après avoir prolongé l'ordonnée PM jusqu'en N , on mène â ce point l^ayonON, on tirera de Téquation (187 ) réduite en proportion
OP : ON : : on : or, ou a/ : û : : « : OT,
ce qui donnera /conformément à la formule (187);
Par ce moyen , on aura deux points de la tangente à l'ellipse , savoir, T et le point M de contact; par conséquent, en unissant ces points par une droite MT,- on déterminera la position de la tangen\e à l'ellipse.
r74 * TH£0|lIK DES COUABKS DU SECOHO OKDRE. '
On peut eacore mener une tangente i^ Tellipse par le prêché suivit:
287. Lorsque le point M est doiïné sur l'ellipse , on inènera Fig.io3. à ce point du foyfer F' {fig* io3) un^p droite F'M qu'on prolongera jusqu'en G , en faisant
Mx = MF,
et, ayant uni les points F et G par «une droite FG^^la pèf)Ppen- « dicidaire MI, abaissée du poi^^ depontact M, sera tangente ^n * M. Pour le démonlrer, on va pfttuver que toot^autre p«nt N pris sur la tangente ne peut appartenir à^a courbe : ^i effet , H suit de l'égalité l|es lignes MF, MG , ceHf 4^s trîapgleiS rectangles F.MI, HUG; d'où il iésultei^iue FI = IG, et qye les triangles FNI, ING sont aussi égaux, et qu'oQ a
m = NG.*
C^la posé , je dis que MI ne peut toucher ia.«pourbe qu'au point M ; car si un autre point , tel que N , était sur la courbe ,"
on aurait
• F'N -> NF = 2fl, ' «
ou F'N H- NG = F'G;
équation qui ne peut avoir Ueu tant qite le triangle F'NG subsista ;^.car la ligne brisée surpasse la ligne,droite.
288. Lorsque le point N est donné hors de l'ellipse, on Fig.ioS. décrira (7%. io3) du foyer F' comme centré , et avefe un rayon égal à 2â; , un arc de cercle qui coupera en G un autre arc de cercle décrit du centre N avec un rayon NF. Le point M, déterminé par la rencontre de F'G et de la courbe , sera le point de contact ; car cette construction aotks donne
NG = NF;
et par ce que F'G = 2â! , on doit avoir
