On peut encore obtenir Sp de la manière suivante : on a
.1 — .Vp ./■ .1- .r*
cette équation a lieu en supposant le module de a: supérieur au plus grand des modules des racines, afin que le second membre soit convergent; si l'on remplace alors a^p successivement par toutes les racines de l'équation et, si l'on ajoute, on obtient, en vertu de la formule (2) du n" 19,
(l l) —jr- = /^ -I- -' -H — -H
Si l'on développe alors le premier membre, suivant les puissances de -■> on obtient deux expressions de cette fonction qui doivent être identiques pour les valeurs de x de module supérieur à une quantité déterminée. Une simple division permettra donc de calculer ^j, 5,, ....
La quantité ^ peut aussi, pour des valeurs suffisamment petites de œ, se développer en série convergente, suivant les puissances de ^ à exposants positifs ; on a
on en déduit, par des moyens analogues à celui qui a été
employé tout à l'heure,
et l'on trouve 5 i, .ç.2, ... en ordonnant le quotient "V— -( »
suivant les puissances positives de œ. On voit l'identité des méthodes qui ont permis de calculer 5p en fonction de .■?/,,, .Çp,, . . ., s,,^„, à l'aide de la formule (9) du n" 19, et qui permettent de calculer un terme d'une série récurrente en fonction des précédents; les termes de l'échelle de relation sont les coefficients de l'équation changés de signe.
Autres fonctions symétriques.
21. Les fonctions symétriques que nous venons d'apprendre à calculer sont ce que l'on appelle les fonctions simples; les fonctions doubles sont celles dans chacun des termes desquelles il entre deux racines, les fonctions triples sont celles dont les termes en contiennent trois, etc.
Le terme général d'une fonction double est ainsi de la forme ^*^f. Si l'on forme le produit Srx.So, on trouve les termes de i^^^'^, et, en outre, des termes de la forme x'^-^'^; ainsi on a
on voit que les fonctions doubles seront des nombres entiers si les coefficients eux-mêmes sont entiers, et que leur degré, estimé comme nous l'avons dit plus haut, est égal à la somme des exposants a, [3.
Pour a = |3, les termes sont égaux deux à deux, car jc'^x^z^i x'jji-^; et comme, dans la fonction symétrique, ces termes ne figurent qu'une fois, on a
Pour obtenir la fonction symétrique triple ijr^j:-^.r^, on multiplie (i) par 5,,, et l'on a
Les termes du premier membre contiennent ceux de la (onction symétrique cherchée, mais il y en a d'autres qui proviennent de la multiplication de termes de la forme j:J par des termes contenant encore cT,; ces termes sont ceux de la fonction symétrique
on a donc
(3) X ,r? .r '? .r^ = vv, .«•„ A' — A-yVo — Xr, s — s s „ + 2 v o
dans le cas où deux des exposants a, j3, y deviennent égaux, les termes deviennent égaux deux à deux; quand les trois exposants a, (3, y deviennent égaux, six termes deviennent égaux; ainsi on a
(4) S.r«.r^.rJ = - (.^.yy — -i s y, s- .^^y — .v.-^.v,, -i- a.foa+y ), ( 5 ) X .r-f J'I vf^ = L ( 4 3 ,-^ .V, -^ -f- 2 .Va a )•
On peut continuer ainsi, et il est démontré que toute fonction symétrique entière des racines est une fonction entière des coejficients ; elle est homogène, et son degré est la somme des exposants des racines, pourvu que l'on considère Up comme étant du degré/?.
Nouvelle méthode pour le calcul des fonctions symétriques des racines.
22. Les formules de Newton s'appliquent assez facilement aux équations numériques, mais il y a d'autres méthodes qui sont préférables quand l'on a affaire à des équations littérales. Telles sont les méthodes de Waringet de Cauchy; nous
allons indiquer ici une méthode qui, au fond, coïncide avec celle de Waring, mais qui est d'une application plus commode. Pour la facilité de l'exposition, nous écrirons l'équation donnée sous la forme
(l) ,r« — fil .r"-' -t- a.yj:"-'^ — a^x"--^ -+-...= o,
nous supposerons la fonction symétrique cp de degré a; soil
( 2 ) Cf == Aa-af'n -+- Aa-«4-K'/t-l + . . . ,
Aa-„«« contient tous les termes de 9 qui dépendent de «„; Aa-«+i«/j-i contient, parmi ceux qui restent, tous ceux qui dépendent de a„-i, etc., l'indice est égal au degré. Cette équation, quand on y remplace a„, «„,, . . . par leurs valeurs en fonction des racines, se transforme en une identité; on peut y annuler autant de racines que l'on veut, et si l'on s'arrange de telle sorte que le dernier terme de <p, en faisant cela, soit le seul qui ne soit pas nul, ce terme sera tout calculé; on peut alors se débarrasser par la division du produit des racines restantes, et continuer à appliquer la même méthode. Nous allons appliquer cette méthode à quelqties exemples.
Exemple I :
(3) S.rJ.r|.r3 = X^^a^ -h Ai «3-1- Xifi'^-^ A3 «3;
le premier terme contient «e puisque 1 est du sixième degré; ce terme disparaîtrait si la fonction était de degré moindre. Le dernier terme contient a^, car la fonction s'annule si l'on annule toutes les racines sauf deux.
Posons maintenant
•n = ■•^s = .re = . . . = o :
alors on a
(4) ^.v\.rl.r,= \,a,.
Nous pouvons conserver notre notation primitive, en nous rappelant que l'indice le plus élevé est 3; en divisant par
x^x^x-^, on a
a\ n'entre pas dans A3, car la fonction doit s'annuler quand deux racines s'annulent.
Si l'on pose x^:^ o, on trouve
.ri.rîI,Xi=^ T-iûiOi, ai = i;
et de (5)
.ii.r,X3
Comme cette formule est identique, on peut y faire toutes
les racines égales à l'unité, alors tous les produits de racines
qui se rencontrent dans la fraction se réduisent à l'unité, et
l'on a
ao=6 — 3.3= — 3.
Si maintenant on fait a/,== o pour/? > 4»
Z.I-] .r^./':) = Aifif^ — 3aj -i- «1 a> a-^
ou
^ .rî x% .i\ -f- 3 rt? — <7i <7., a,
— - — -^ — ' = A ., = ay a^ -\- a, a\ ,
formule où «„ 6t a, sont à déterminer. Pour y arriver, posons trois racines égales à l'unité et la quatrième égale à h; cherchons le coefficient de h- dans le second memhre pour l'égaler au coefficient de A* dans le numérateur du premier; dans 1x\x\x^, on n'utilisera que les termes qui ont l'exposant 3 en h, et l'on trouvera ainsi A^ autant de fois qu'il est possible de prendre deux racines parmi les trois que l'on a fait égales à un, c'est-à-dire six fois; alors, comme on a
^3 = I -I- 3 //, (7-2 = 3 -i- 3//, ((y = Il -\- 3,
on a
et, en prenant toutes les racines égales à l'unité,
■i\ -+- 48 — 96 = 6ao — 3. 16,
2(o = i ; on a donc maintenant
"L.r] j:% .r-i— a,^( \a.^ — 3rtf ) -t- 3<7| — r/, Oo/Vj
36 CH.VPITIIK II.
si l'on annule toutes les racines sauf 5. Et si l'on prend ces cinq racines égales à l'unité, on a
Go — 5(4. lo — 3.2")) -H 3.io2— "). lo. 10 = a.j, a ^ 7,
et finalement Ao = — 12, de sorte que le résultat pour toute équation sera
I.x\ xl X3 = — I2<76-H yf'ôf'i -r- ft'J ^a, — 3(7î ) — "yr/l ^ rii aïO:,. Exemple If. — Pour l'équation
X^ — rtj X- -T- «2 ■'' — ^':i = O.
on demande de calculer
u = (xi - x.,y- (xi - x,y- (x,-x,y- -. on a
les termes suivants doivent manquer, U s'annulant alors que deux racines deviennent égales à zéro.
Pour ^3= o, on a
.r j xl {xi — x-i )2 = Ai n> = fij ( — .\ ci, -h al):
et alors
U = r/aCaofl.s-t- ai«2'''i -+- y-2 a\ ) -i- al(— ^ m -^ «{)•
si l'on lait
.ri = x-, = i. .r:j = //,
et si l'on égale les coefficients de h'*, on a
en égalant les coefficients de A% on a 9.7.1 — -ai — 12 = 0,
et si l'on égale toutes les racines à l'unité, on trouve
ao = — 27 ; ainsi on a
U = — 27«j -t- 18 rti a-, rti — Uh^'l — ^ril -h a'ia'i.
Dans cet exemple et dans le précédent, le résultat ne change pas en revenant à la forme primitive de l'équation avec tous les coefficients positifs.
Formules générales pour le calcul de v^, et de a,,.
23. Le théorème de Newton permet de calculer Sp quand les coefficients sont connus, et, inversement, les coefficients quand Si,s^, . . ., s,i sont donnés ; mais le calcul exige la résolution d'un système d'équations linéaires. Par la méthode suivante, on trouve l'expression explicite de ces quantités.
Soit
( 1 ) (.r — .ri ) (.r — .r^ ) . . . (.r — .r„ ) = x" -+- r/, .r"-' -j- Oy r«--+ . . . -i- <?„ ;
dans cette identité, supposons œ plus grand que le plus grand des modules des racines; alors, en divisant par x"- et en prenant les logarithmes naturels, on a
tous les termes peuvent être développés en séries convergentes, et l'on a
formule où l'on a posé
Égalons, de part et d'autre, les coefficients de x-p; dans le
premier membre, il est — — ; dans le second membre, le
lerme gênerai est
et le lerme général du développement de la parenthèse est
égal (en vertu de la formule du polynôme) à
( 3i 4- 3-' -+- • ■ • — 3« V. -5 -î 'i la +"'1,
ou
(5) p,- fi,-+-... + ?„ = /.:
on n'utilisera que les termes pour lesquels (G) 3, + '2;î, + ...-^«3„ = /;.
de sorte que la solution générale sera
(:; ■'i>=2d pTTsTTTTTv '^'V'^'ï ■••^'« •
où (3,, [3o, ..., j3„ doivent recevoir toutes les valeurs positives ou nulles satisfaisant à (6).
Pour obtenir ap sous forme explicite, on tire de (2)
où
X ix'^ 3 x^ et l'on trouve comme tout à l'heure
où
on trouve ainsi
, «1 = — -Cl,
(.11) ', 31<73= — i'f-H 3 Si Si— 2.S-3,
i41«4= i-f— G^ïio-f- Si'i^a^Si'l — 6^1,
1 5!-73= — j'f-i-IO^f .yo— 20,9î*3 — l5*I*l-^ 3o*l*i-|- 205,^3— '^1-^5,
comme avec les formules de Newton.
RELATIONS EMUE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 3g
•24. Si l'on applique (7) à l'équation (12) x- — a.v-hb = o,
on trouve
^ ^ ' j^ {p—-iix)\ix\
grand entier contenu dans -^- On peut aussi écrire
S/, = aP — pnP-^- h 4- ' ' aP-* h'- ^ . . .
pour l'équation
on a
( s^^xP-pxP-^^LJL- .r/'-.-...
( -+-(-1). 1.0.3. ..îz -^
formule qui trouvera son application plus tard.
Équation aux carrés des différences.
25. Étant donnée une équation, on peut en déduire une autre dont les racines sont les carrés des différences des racines de la proposée. Soient
les racines de la proposée; les racines de l'équation cherchée seront
(,fi — .roj2, (.r, — ./;3)2, ..., (.r„i — x„)^
et cette équation sera de degré ^'~' >
ijO CHAI'ITHK II.
Celte équation a joué autrefois un rôle important dans la théorie qui nous occupe. Si l'on annule son dernier terme, on exprime que la proposée a des racines égales, car cette circonstance exige qu'une des différences au moins soit nulle. Ce dernier terme, abstraction faite de son signe, porte le nom de discriminant de l'équation proposée. Si l'équation donnée a deux paires de racines égales 0^1= cc^, œ^-=^x,^, les deux derniers termes de l'équation aux carrés des différences seront nuls. Si l'équation proposée a trois paires de racines égales, les trois derniers termes de l'équation aux carrés des différences seront nuls, etc.
L'équation aux carrés des différences servait surtout à trouver des intervalles comprenant une seule racine de l'équation proposée. Nous parlerons plus loin de cette application, nous allons donner ici une méthode simple pour former l'équation aux carrés des différences. Pour former cette équation, Lagrange exprime les sommes des puissances semblables de ses racines S,, S2, ... en fonction des sommes des puissances semblables des racines s^, s,, ... de la proposée comme il suit.
L'application de la formule du binôme donne identiquement
( X — .ri f-P H- ( X — a:, f -^ ...-+- {x — x,t)-P
"i-P o , •ip(?-.p l) ,
= nx^P .r-/'-' \i ^ x-P—-s.y -H ... ;
si l'on remplace successivement œ par .r,, j:^, . . ., et si l'on ajoute, on a
-2?) ipllfj — })
et comme les termes équidistants des extrêmes sont égaux,
•^ p (i) s,, = ns-i/j •'^2/>-i vi -H . . . it; '—^ ' sf,.
Si, par exemple, l'équation donnée est
x^ -h px- -T- qx -h I' = o,
RELATIONS EMRI' LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. L\l
on trouve
s, = 3,.,- si
^3 = J •'''g — '"> •*'i *'5 -I- I > ■''i ■'''■, — ^^"h d'où l'on conclut l'équation aux carrés des différences
où
P = 2/J--1- fxy,
On peut donner du discriminant une expression qui est souvent commode; si l'on pose
f{.r) = (.r — Xi)o{.r),
si l'on différentie et si l'on fait j: := .r,, on trouvera
/'(.r/) = (xi- .r, ) (Xi—.r., )... (.n— ,r,, ) (.r,- .r,vi ) . . .(.r,-.r„ ).
Si l'on remplace Xi successivement par toutes les racines et si l'on multiplie entre elles toutes les équations obtenues, on obtient dans le second membre tous les facteurs de la forme — {xi — ^jY; le discriminant est donc de la forme
Fonctions rationnelles des racines.
26, Une fonction rationnelle d'une racine j^i d'une équation/(.r) = 0, de degré n, peut se mettre sous la forme
cp et ^]> désignant des polynômes entiers. Si l'on multiplie haut et bas par J>(j^,) ^(-^s) • • • 'H-^n), on a
<\>(xi) J^(j:2). . .4'(.-^/j)
Le dénominateur est une fonction symétrique des racines et peut être exprimé rationnellement en fonction des coefficients; le numérateur est une fonction symétrique des racines de
dont les coefficients, quand on a effectué la division indiquée, sont des fonctions entières de oc^ et des coefficients de/(^). La fonction rationnelle donnée est donc réductible à une fonction algébrique entière de x^, j'ajoute que l'on peut supposer son degré au plus égal à « — i; en effet, si son degré est plus élevé, on peut la mettre sous la forme
oi^i R est du degré n — i au plus, et comme /(^i) = o, on voit que toute fonction rationnelle d'une racine d'une équation de degré n peut se mettre sous la forme d'une fonction entière de degré n — i au plus.
Si l'on avait une fonction rationnelle de plusieurs racines, on la mettrait d'abord sous la forme
Ao-l-Ai.r,-^...-hA,,,.r«-i,
oix Ao, Al, . . ., A„ peuvent contenir jc.^, x^, .... Chacun de ces coefficients peut être traité de la même façon par rapport à ^2 et ainsi de suite, et l'on arrive ainsi à une fonction entière des racines, dans laquelle l'exposant d'une racine quelconque ne peut dépasser n — i.
Exemple. — Dans l'équation
.r^ -i- p.i- -+- qx -I- r = o,
on peut mettre une fonction d'une racine sous la forme
mais il vaut souvent mieux adopter la forme
on l'obtient en remplaçant x par ^, dans l'identité
= ('r.r--4- hx -+- a) (c.r ^ pc — /;)
Alors le premier membre étant nul, on a
r ,.2 -*-/,,. ^ ., [ yr^ - r ( ^/ -4- /yp ) -4- /^2 ] -ri + rc'- — ope + r/T-
cx^-^ pc — b
CIIAPITRK III,
