SUR L'ÉLIMINATION

Élimination d'une quantité

27. Deux équations algébriques entre a; el y : l'une du degré w, l'autre de degré n, peuvent être mises sous la forme

) = ^'oj '"-^ f^'i.

. .+ rt;

OÙ ap et ^p désignent des fonctions de .c seul et de degré p. On peut de ces équations en déduire d'autres, satisfaites pour les mêmes valeurs de a; et de y.

Pour trouver ces valeurs, on cherche, en général, une équation qui ne contient plus qu'une des inconnues. Cette équation porte le nom d'équation finale, et l'on forme cette équation en chassant (en éliminant) l'autre inconnue. Si l'on forme cette équation en œ, elle déterminera toutes les valeurs que X peut acquérir, de manière à satisfaire à (i)et(2); en général, à chacune de ces valeurs de x ne correspond qu'une valeur de j, telle que l'ensemble de ces valeurs satisfasse aux équations données : à chaque valeur de x correspond un facteur déterminé du premier degré commun aux deux équations. La question peut donc se présenter sous cet autre point de vue : trouver la condition pour que les polynômes /(j) et F(/) aient un facteur commun. Nous allons faire connaître les méthodes les plus importantes, qui ont pour but de conduire à l'équation finale.

SLR l'élimination. 4^^

Application de la théorie des fonctions symétriques.

28. L'équation F( j) =: o est de degré n en / et, par suite, elle a n racines fonctions de x; on ne peut pas, en général, les calculer, mais on peut les appeler jj, 7,, ...,/„; à chaque valeur de x cherchée, correspond au moins une valeur, ji, y.,, . . ., j„ satisfaisant à /( j) := o ; la condition nécessaire et suffisante, pour qu'il existe une valeur de x satisfaisant aux deux équations, est

car cette équation est satisfaite lorsque l'un des facteurs du premier membre est nul, et seulement dans ce cas. Comme Ju y-2, ■ ■ -, y a entrent symétriquement dans l'équation précédente, ils peuvent être éliminés à l'aide de la théorie des fonctions symétriques, en exprimant le premier membre au moyen de bo, b^, . . ., 6„, c'est-à-dire en fonction de x seul. L'équation ainsi obtenue ne contient plus que x et est l'équation finale cherchée.

On peut montrer facilement que l'équation finale est, au plus, de degré mn ; /(/) est, en effet, homogène du degré m quand on y regarde Qp comme du degré p. Si l'on regarde /j, Vo, . . . comme étant du premier degré, f{y\)f{y-2)- ■ -/{yn) sera homogène et du degré mn. Ainsi, toutes les formules relatives aux fonctions symétriques de j'i, Joj •••» yn sont homogènes en regardant les racines comme du premier degré et bp comme du degré p.

L'équation finale en x sera donc du degré mn, si l'on regarde les indices des a et des b comme déterminant les degrés de ces quantités. En réalité, ces indices ne sont égaux qu'à l'exposant de la plus haute puissance de x que peuvent contenir les coefficients. Si donc on considère les degrés par rapport à x, l'homogénéité sera détruite, mais le plus fort exposant de x dans l'équalion finale sera mn au plus. ^0 entre en dénominateur dans les coefficients de F(/), mais cela n'a pas d'influence sur le résultat, b^ ne contenant ni x ni y.

On voit donc que V équation finale est, au plus, du degré mn. Si les équations données sont complètes et générales, c'està-dire si tous les termes ont des coefficients tout à fait quelconques et indépendants les uns des autres, le degré sera précisément mn.

Si, en effet, on considère les équations particulières

on obtient l'équation finale de degré /n«

et ce cas doit être contenu dans le cas général, s'il ne s'est pas introduit de solution étrangère; or tel n'est pas le cas; car, soit x^ une racine de (3), la première équation (2) donne

et la deuxième équation (2) devient

donc les racines de (3) donnent toutes des solutions de (2); donc il est prouvé que :

Deux équations générales des degrés m et n conduisent à une équation finale du degré nin.

29. Si l'on regarde x ai y comme des coordonnées dans un système de coordonnées rectangulaires, les équations données représenteront deux courbes des degrés m et «, et leurs solutions détermineront les intersections des deux courbes.

Deux courbes générales des degrés m et n ont donc nin points communs. Dans quelques cas particuliers, l'équation finale pourra être de degré moindre. Si l'on part du cas général, et si l'on fait varier les coefficients d'une manière continue pour leur faire prendre des valeurs pour lesquelles le cas particulier se présente, les coefficients des plus hautes puissances de x tendront vers zéro, et autant de racines croî-

SUR l'élimixation. kl

tront au delà de toute limite (ce que l'on voit d'ailleurs en

changeant x en - )• On peut donc dire qu'il y a toujours mn solutions communes ou mn intersections, si l'on compte les solutions qui croissent indéfiniment ou les points qui s'éloignent à l'infini. Ces considérations, qui conservent au théorème relatif aux intersections de deux courbes toute sa généralité, sont d'une grande utilité dans la Géométrie moderne.

Exemple. — Les équations générales du second degré sont

On trouve, pour le produit f{yi)f{yi),

-+- "i 71/2 -+- f^o^'i (Ji H- ri ) -+- «1 «2 (fl + J 2 ) H- "1

Jlji-

Voici comment on peut former la fonction f{yi)f{yi)

On divise /(y) par F(/), et l'on a, en appelant E un polynôme entier,

fiy) . . ^? /(.'•/)

et, par suite, en posant "^rj-^ = ?(/)>