F(JJ

cpCn)+-Vr;.0,)

ce qui permet de former icp(/,), 1yiO{yi), simple division; on a alors identiquement

par une

'f(ji)

= ?(.^•l)'f(/■2)...cp(.r„)•D^

en appelant D le second déterminant. D- est égal au produit des carrés des différences ( j^ — vj) ou au produit

F'0-i)F'(r2)...F'(r.); {voir n"** 23 et 37) celte équation peut s'écrire

= /(.''! )/(.r2).../(j,J, ce qui fait connaître l'expression de l'équation finale.

Méthode de Labatie.

30. Soient Vi^^o, ¥, = 0 les équations données en jc et y, ordonnées comme plus haut; soit n le degré de V, en r ; nous supposerons que V, est de degré égal ou inférieur au degré de Vj. Si Vi et V2 ont un facteur commun, nous le supprimerons; outre le nombre fini de solutions que nous déterminerons plus bas, les équations seront encore satisfaites pour toutes les valeurs de ^ et j qui annulent le facteur commun.

Maintenant cherchons le plus grand commun diviseur de V, et V,; on finit par trouver un reste fonction de .a? seul; en égalant ce reste à zéro, on a l'équation finale, car cette équation exprime que Vi et V, ont un facteur commun. Mais, en examinant les choses de plus près, on voit qu'il peut s'introduire des solutions étrangères, de même qu'il peut en disparaître; cela tient à ce que, pour éviter les fractions, on introduit ou on supprime des facteurs dans les calculs. Ces facteurs sont fonctions de a^ seul : ceux qui seront introduits dans les dividendes seront désignés par 11, ceux qui seront supprimés dans les diviseurs seront désignés par v, les quotients seront désignés par Q. On a alors tout d'abord

(0 «iV, =QiV.2-^V3('i;

on voit alors que les deux systèmes d'équations uiYi^o ) { V. = o,

^'^ ' V. = o) - IVar,

SLR L ÉLIMINATION. 4g

ont les mêmes solutions finies, car toutes les valeurs finies qui satisfont à l'un, satisfont à l'autre; si l'un des systèmes a des solutions multiples, l'autre les a aussi et au même degré de multiplicité ; car on peut regarder ces systèmes comme des cas limites de systèmes plus généraux sans solutions multiples.

Ce que nous venons de dire n'est vrai que pour les solutions finies; les deux systèmes peuvent ne pas avoir les mêmes solutions infinies; ainsi le système