X- -T- y^ -\- cil ■'' -f- b^y -i- Cl = o

a deux systèmes de solutions infinies, et l'une de ces équations combinée avec

{a — ai)x-\- (b — bi)y -f- c — f, = o

n'a pas de solutions infinies. Nous laisserons de côté les solutions infinies.

Les systèmes (2) peuvent aussi s'écrire

1 «j = o. Vi = 0 cl l'i = o, V2 = o, ■^'* \ \, = o. V. = 0 V, = 0, V3 = o:

nous désignerons ces systèmes par i, 2, 3, t\.

On voit que, si l'on remplace le système donné 2 par 4, on introduit les solutions étrangères qui appartiennent à i, et que l'on a éliminé celles qui appartiennent à 3. Dans le cas où «1 et v^ ont un facteur commun d^, on peut l'écarter par la division, car il entre les deux fois en combinaison avec ¥2 = 0 : il disparaît une fois en divisant par t'i, tandis qu'il s'introduit une autre fois en multipliant par «j; de la sorte le système donné sera remplacé par

-1=0 et Vo (.4) 'A

5o CnAPITRE III.

et les solutions étrangères introduites sont rléterminées par

On opérera, sur le système Vo =: o, \-^ =^ o, de la même façon que sur le système primitif, et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à l'équation finale, en ayant égard aux systèmes mis de côté et à ceux qui déterminent les solutions étrangères. Pour obtenir l'équation finale, il faut la multiplier par -~ et par les quantités analogues, et

la diviser par -/ et les quantités analogues.

Cependant, s'il s'agit des solutions générales des équations, on doit se rappeler que les racines chassées et introduites jouent un rôle spécial et tout autre que celui des racines, qui sont telles qu'à chacune ne correspond qu'une valeur de y. De celte façon, -^ =^o doit être combiné avec V.i=:o et une

équation analogue '-f- avec ^'p ul = o, analogue à ¥.= 0. Nous allons maintenant montrer comment on peut simplifier la solution.

31. Nous avons seulement évincé les facteurs communs à un t' et à un M de même indice; car on n'a à combiner que dans ce cas u et f> avec une même équation. Nous allons toutefois établir le théorème suivant :

Si un u et un v suivant, par exemple u, et i\ ont un facteur commun x — ol, qui n' appartient pas à un u ou un ç intermédiaire, le système x — a = o, ¥3^=0 peut être remplacé par X — a = o^ Vj^ o.

Considérons, en effet, les équations

(6) I ":3V,= Q:3Vi^Y3i'3,

Elles montrent que .r =r a, et les valeurs de j qui satisfont à ;/,=:o et ¥3=0 satisfont aussi à Vi = oet ¥3 = 0 (s'ils

SUR l'élimi.wtion. 5i

n'annulent pas c, ou ('3) et inversement, les valeurs qui satisfont à ('4=0 et ¥5^=0 satisfont aussi à ¥3=0. Il est donc indifférent de combiner les racines communes à «2 = o et i\ = o avec ¥3= o ou avec V5 = o, et ainsi (abstraction faite des solutions infinies) on ne commettra pas de faute en supprimant les facteurs communs à lu et i\. Ainsi, on peut supprimer tout facteur primitivement introduit par une multiplication dans un u, si on le rencontre une première fois dans un c.

Si, par exemple, dans a, on trouve le facteur a; — Xi, et dans U3 le facteur jc — «2, on peut faire disparaître ces facteurs si on les rencontre pour la première fois dans un v, et comme cela a lieu quelque petite que soit la différence entre a, et ct^, cela doit encore avoir lieu pour ai=z oco. Si donc le même facteur a été introduit plusieurs fois, on peut le faire disparaître le même nombre de fois s'il entre dans les c.

On voit maintenant quelles sont les équations à résoudre :

d'abord, on a le facteur étranger '-^. et la multiplication sui-

vante donne ^7-^; on élimine, par la division, les facteurs contenus dans ç^; en appelant leur produit di, il reste à considérer -T-T-j et en multipliant par u^ et en écartant les facteurs contenus dans «-3, dont on désigne le produit par d^, on a à considérer "'"/"/ ;. et ainsi de suite.

«1 rt2 «3

Les équations données seront donc remplacées par le système suivant :

(7) fA (h d^ da-x

\ Vo = O, V3 = o. ¥4 = 0 V„ = o,

équations qui, abstraction faite des solutions infinies, ne fourniront que les véritables solutions avec leurs degrés de niultiplicilé. Les facteurs étrangers introduits doivent donc, si cela n'a déjà pas été fait dans le courant de l'opération, disparaître de l'équation finale. Le dernier reste est V„^.,(^„i, et l'on peut supposer V„+i= i, ce reste ne contenant pas y, en

sorte que ('„i=o est l'équation finale, de laquelle après avoir divisé par a„, on a écarté toutes les solutions étrangères. Comme, en général, V„ est du premier degré en y, le dernier système fait connaître les solutions qui sont telles qu'à une valeur de a: correspond une valeur de j; l'avantdernier système fait connaître les racines telles qu'à une valeur de ^ correspondent deux valeurs de y, etc. Comme les solutions multiples ne peuvent se rencontrer que dans des systèmes tout particuliers, on ne trouve que le dernier système, si l'on a affaire à des équations tout à fait générales. En général, l'équation finale, obtenue en annulant le dernier reste de la méthode du plus grand commun diviseur, est de degré trop élevé, puisque l'on doit en ôter les facteurs introduits pour faire les divisions, afin d'éviter les fractions. En opérant sur deux équations du troisième degré, on trouve un reste du onzième degré, et l'on a eu à multiplier deux fois par un polynôme du premier ou une fois par un polynôme du second degré. La dernière division introduit un facteur du quatrième degré; mais il ne joue aucun rôle, car il n'introduit pas de racines finies.

Si le nombre des racines communes est moindre que celui qui est indiqué par le théorème général, c'est que les racines manquantes sont infinies. En Géométrie, les solutions infinies ont une plus grande importance, et, pour cette raison, nous n'en parlerons plus ici :

Exemple :

Vi = ) 3-i- •ixy'^-h {2x- — j.i')'' -i~ ■^" — 4 = 0,

V2 = J "--i- 2./) -f- 'IX- — >./• -+- l = O.

On supprime dans le premier reste le facteur x — 2, et on

le combine avec V,. Le deuxième diviseur est y + j? H- 2; il

donne le reste a:^-—5x -{-6, et l'on obtient les deux systèmes

ainsi

.r = 'jt, X = "2, X = 2. X = 3,

SLR l'élimination. 53

Comme on devrait obtenir une équation finale du sixième degré, deux valeurs de a: sont infinies. Les deux courbes représentées parles équations données ont deux interseclions à l'infini et, sur les quatre autres intersections, deux se confondent pour donner un contact.

Méthode d'Euler.