NU = MV

De là, il résulte que les n facteurs de V doivent entrer dans

54 CHAPITRE Iir.

NU, et que p d'entre eux au moins doivent entrer dans U, puisque N est seulement de degré n —p.

Pour /? = i, on n'a qu'une équation de condition qui est l'équation finale cherchée.

On peut obtenir la forme générale du facteur commun, en remplaçant les polynômes M et N par d'autres M, et Ni de degré moindre, et en annulant les coefficients des puissances supérieures de j dans N,U — MiV; si l'on pose

NiU — iMiV = a„r/'

le facteur commun à U et V de degré p sera précisément le second membre de (5), si les conditions pour que ce facteur existe sont satisfaites.

Exemple :

si l'on pose

on a, en identifiant,

r/yd

f/iO.

a-iOi

En éliminant a,, a,, (3i, (3,, on a l'équation finale

f'i—bi a,- h.

bî

Pour avoir l'expression du facteur commun, on posera

(j + ai)U — (j -t- (iiOV =/«/ + «;

SUR l'élimination. 55

et l'on trouve

ai/7i -1- a-i — pi/;] + h.-,,

ai a.2 -+- a-i = p, /a, -h l>z + m,

a, et {3i sont donnés par les deux premières équations, et m et n par les deux dernières.

Pour trouver la condition pour qu'il existe un facteur commun du second degré, il suffit de poser m =r « i= o; alors les conditions sont données en égalant à zéro les déterminants oblenus en prenant trois colonnes dans le Tableau

Ces quatre déterminants, que l'on peut ainsi égaler à zéro, ne fournissent que deux équations distinctes.

Si les équations ainsi obtenues sont satisfaites, on obtient le facteur commun du second degré en éliminant/' entre les deux équations données, ce facteur est

Méthode de Sylvester.

33. Cette méthode ne diffère pas, au fond, de la précédente. Elle consiste à multiplier les équations données par y, y^, y^, ... jusqu'à ce que l'on ait obtenu deux équations de degré m -h n — i ; on a alors fii + n équations, entre lesquelles on élimine y, y-, j% . . ., j"'+«-i, en les considérant comme des quantités indépendantes entrant au premier degré. On obtient ainsi, en considérant les équations traitées au paragraphe précédent,

j^+<^/iy^-i- (iiY -^ (i-i = o, r'^ -h «u 3 -)- rt^j^ -i- a-ij =^ o,

^5 ,. fuy'* + «2j' -h 0^}"^ :

CHAPITHE III.

j^-h i>iY--i- /joj- -{- l>i = o,

d'où l'équation finale

fl-i

Celle équation devient identique à celle que l'on a trouvée tout à l'heure, si l'on échange la troisième ligne avec celle que l'on obtient en retranchant la sixième de la troisième, puis en supprimant la première colonne et la sixième ligne.

Si on laisse de côté la troisième et la sixième équation, on trouve

ce qui détermine les deux conditions pour que les équations proposées aient un facteur commun du second degré.

Les résultats des recherches précédentes sur les équations à deux inconnues peuvent se résumer ainsi :

Soient m et n les degrés des deux équations, l'équation finale est de degré mn; dans des cas particuliers ce degré peut s'abaisser, soit parce qu'il existe un facteur commun dans les deux premiers membres des deux équations annulant leur plus grand commun diviseur, soit parce qu'elle présente des racines infinies faisant disparaître les plus hautes puissances de l'inconnue. A chaque racine de l'équation

SLK l'élimination. 5j

finale en x correspond, en général, une valeur de 7 donnée par une équation de la forme

Celte équation devient illusoire quand les valeurs de x annulent A et B, 7 a alors deux valeurs données par une équation

de la forme

A,72^B,7-^Cl = o,

si Ai= B, = Ci= o, 7 a trois valeurs, elc.

Ces résultats sont surtout mis en lumière dans la méthode de Labatie, parce que toutes les expressions dont on a besoin pour former les équations de condition ou les facteurs sont calculées pendant les opérations; cette méthode est plus commode quand on a affaire à des équations numériques, et doit être alors préférée; tandis que les méthodes d'Eu 1er et de Sylvester, qui doiuient le résultat au moyen d'un déterminant, sont préférables dans le cas oi^i le calcul complet des résultats n'est pas exigé.

Méthodes de Bézout et de Laurent.

34. Les méthodes d'élimination que nous avons développées ne sont pas, en réalité, très différentes; elles se réduisent, en définitive, à déduire, des équations données, de nouvelles équations linéaires en y, et à en éliminer les 7 ; la méthode suivante de Laurent a pour but de montrer leurs rapports. Soient f{y) = o et 9 (7) — o les équations données que nous supposerons des degrés m et n ou m^n. Soient ^1(7)» ^2(7), ..-, ^niy) des polynômes de degré « — i linéairement indépendants. En multipliant f{y) par ces polynômes et en divisant les produits par 9(7), on obtient n équations de la forme

(i) ^i(r)fir) - qi(j)^(f ) = f'i + luy + Ci^ 2 + . . .-4- /,-7''-i.

Considérons le déterminant des coefficients des restes

Soient Ai, Ao, . . ., Â„ les mineurs de R relatifs à la première colonne; si nous multiplions les équations (i) respectivement par ces mineurs, et si nous ajoutons, nous obtenons l'équation

(2) /Q-) V A,.e,( r) - '^(j)ZXiqi(y) = R:

celte identité montre que tout facteur commun à /(/) et à 9(7) appartient à R ; et, comme R ne contient pas j, R = o est la condition pour que/ et o aient un facteur commun. Si les coefficients de / et de 9 dans (2) sont respectivement de degrés n — i et m — i,/ et 9 ont un facteur commun du premier degré, et R =:o est la résultante de/= o et 9 =; o. Si R n'est pas nul, (2) donne le théorème suivant :

Si /{y) et o{y) n'ont pas de facteur commun, on peut toujours trouver deux polynômes A e^ B des degrés n — i et m — I, respectivement tels que l'on ait identiquement

A/C,r)-Bo(,)) = r.

Lorsque R = o, on tire des n — i équations distinctes, obtenues en égalant les restes à zéro, les valeurs de y, y'^, ■ ■ -, /""S oii y désigne la racine commune à /(r)=o et

On peut remplacer les fonctions 9 par des combinaisons linéaires de celles-ci qui soient linéairement indépendantes; les a, les b, . . . seront ainsi remplacés par des fonctions linéaires de ces quantités; le déterminant R sera alors multiplié par le déterminant de la substitution correspondante. En faisant varier les coefficients des 0, R acquerra des facteurs divers. Laurent prend les 9 égaux à i, y, y-, . . ., j"~'; dans ce cas, en désignant par 71,72, •••, J« les racines de 9(7) zzz o, les équations (1) deviennent

(3) n /(/^) = ''i- hoi.-^--.-^iiyr'-

Si l'on forme le déterminant qui a pour élément général le second membre de cette équation, on voit, d'après la forme

SLR L ÉLIMINATION.

de cet élément, qu'il est le produit de R par

comme D = o pour/x^^= V/, on voit que D est divisible par le produit des différences des racines j^., et comme D et ce produit sont de même degré, ils ne peuvent différer que par un facteur numérique, et il est facile de voir que ce facteur est i (voir p. 48); D^ est donc le discriminant de o{y)- Si, au contraire, on considère le déterminant qui a pour élément général le premier membre de (3), on le trouve égal à

on a donc

./b-i)/0 2)....f(j,OD; H = /':n)/0-2).../(j«),

ce qui (p. 45) donne la forme la plus simple de la résultante.

Maintenant supposons qu'avec ce choix spécial des 9, l'on ail A„=o : le terme en j"~' dans 2)A,9, s'annule, le coefficient de/(7) est alors de degré n—2 dans (i), et /(y) et 9 (y) ont pour R = o un facteur commun du second degré ; si l'on a encore A„i = o, ces fonctions ont un facteur commun du troisième degré, et ainsi de suite. Si le facteur commun est de degré n — i, il ne devra différer que par des facteurs connus de chaque reste; tous les éléments de R d'une même ligne sont alors proportionnels à ceux d'une autre ligne, et tous les mineurs de R sont nuls.

Laurent évite les divisions à l'aide de certaines fonctions auxiliaires, mais le déterminant qui exprime la résultante est un peu moins simple; comme ces fonctions sont souvent utiles, nous allons les faire connaître.

Soit F(y)i=o une équation de degré m ayant toutes ses racines «1, c/.,, . . ., «,„ inégales; on pose

(j — "ijl^'l un'

6o CHAPITRE III.

les \ sont des fonctions entières de degré m — \, \i se réduit à I pour /^ a, et s'annule pour les autres valeurs de a; il en résulte que, si '^{y) est un polynôme quelconque de degré m — \ au plus, on a identiquement

'L( r) = 'I;((7i )ïi^ '^{.fti)\i^- ■ --^ '^(V'w );/;/. Si l'on prend 4> égal aux m expressions de la forme

f(r) '^(r/,-) — cpf r) f(r/,-)

on obtient en fonctions linéaires des 4 qui, pour une racine commune de/(/) = 0, cp(j)^ o, s'annulent à la fois; si l'on élimine les ^ des équations obtenues en égalant les fonctions linéaires à zéro, on obtient la résultante. Laurent montre qu'elle contient en facteur le discriminant deF(y); dans les applications, il n'est pas nécessaire de former ce discriminant ; et l'on peut prendre pour les a des nombres arbitraires. Bézout, Cauchy et Cayley ont fait connaître des méthodes fl'élimination qui, au fond, reviennent à prendre (lorsque m = n) Qi, On, ... égaux aux coefficients du quotient de la division de o{x) par y — ^c; q^, q,, ... sont alors les coefficients du quotient de la division de f{x) par y — x.

Systèmes de plusieurs équations à plus de deux inconnues. Théorème de Bézout.

33. Bézout a démontré, pour la première fois, que l'élimination de A- — j quantités entre k équations conduit à une équation finale au plus égale au produit des degrés des équations en question.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les équations données soient au nombre de quatre, nous les supposerons à quatre inconnues x, y, z, a, et tout à fait générales des degrés m, n, p et q; nous supposerons mln^p^q.

De la dernière équation, on tire ui en fonction entière des autres inconnues et en fonction linéaire des puissances moins élevées de u, et, en multipliant par it, on peut ainsi obtenir toutes les puissances de u en fonction linéaire des puissances

SLR L ÉLIMINATION. 6l

inférieures à 7. Si l'on porte ces valeurs dans les autres équations, Il n'y entrera plus qu'à la puissance 7 — i au plus; de même, de l'avant-dernière équation, tirons la valeur de zp, et, en continuant, on tirera la valeur de y"- de la seconde. Ces substitutions faites, la première équation ne contiendra pas de termes divisibles par j", z-p, u'', elle sera de forme entière et homogène dans le sens oii nous avons déjà pris ce mot.

Maintenant multiplions la première équation ordonnée par rapport à /, z, u, et dont les coefficients sont fonctions de x, par un polynôme P, contenant tous les termes de la forme Xy^z^u^ non divisibles par y", z-p, u'J. Supposons que le premier coefficient de ce polynôme soit égal à un. La multiplication une fois effectuée, faisons encore disparaître les termes divisibles par y", zp, «-?, l'équation contiendra autant des autres termes indéterminés que de coefficients indéterminés, et cela sous forme linéaire; on peut les déterminer de manière à annuler tous les termes en y, z, u et le résultat est alors l'équation finale.

Pour déterminer le degré de l'équation finale, nous observerons que le degré de la première équation est m. Le degré du facteur par lequel on l'a multipliée, et qui, au moyen d'indices convenablement choisies, est rendu homogène, étant /JL, le produit sera de degré m + [i, le nombre des termes du produit est npq, c'est le nombre des termes du produit

qui ne diffère du premier que par ses coefficients qui sont linéaires par rapport aux coefficients indéterminés. Soient /"■' un terme de P et a''') son coefficient ; a^''/''' est de degré \j., il se trouve multiplié dans le produit par un facteur de degré m en .r. Le produit a la forme

si l'on égale à zéro les coefficients de /'"', l^'^>, . . ., et si, entre les équations obtenues, on élimine a**", a''\ ..., ce qui se fera en égalant à zéro un certain déterminant, les termes de la diagonale sont les coefficients de termes de la forme

a<'")/"'. Ces coefficients sont de degré m, et leur produit est de degré mnpq. Tous les termes de l'équation finale ont donc une somme d'indices égale à mnpcj, et, par rapport à x, elle sera de degré mnpq au plus. II est facile de voir que ce degré n'est pas, en général, inférieur à mnpq; en effet, si l'on considère les équations particulières

X — y'", y = z", z = al', a = x'i .

leur équation finale est bien de degré mnpq.

36. Si l'on n'introduit que npq — 2 coefficients indéterminés dans P, on peut faire disparaître tous les termes, à l'exception de celui qui contient seulement jr et de celui qui contient une des autres inconnues au premier degré; on a alors une équation qui détermine cette inconnue lorsque l'on a tiré x de l'équation finale, et la discussion s'achève comme dans la méthode d'Euler exposée à propos de deux équations; cette méthode d'Euler, en réalité, est identique à celle de Bézout.

Exemple :

y- -h xz = b-,

= Ij^-

j-z = lAx —xc^-

yzi =c^y —xlA

y'-z'-= /Ac'-—b^-x

(yz -^ 3ti 3 — ^3i j>- -T- Yî ) (yz — .r^ — a'- ) = o.

Si l'on effectue la multiplication et si l'on remplace yS :;-. y-z, yz- par leurs valeurs, on obtient, en égalant les coefficients de yz, z, y et le terme indépendant à zéro, et en éliminant les coefficients «i, ;3i, ■/.„ l'équation finale 2.r2 — a- o o 1

— h^x c- IX- — a- o b-ic'- —b^-x —cKc x'- — i

SLR l'élimination. 63

On voit que tous les termes d'une ligne diagonale sont du second degré, ce qui confirme ce que nous avons dit sur le degré de ces termes en général. Pour trouver y et z, posons

(3 -h ao J -i- ai ) {yz ^x"-— a^ ) = o

z-)- -+- oio)-z -f- -Xirz -f- :;(./;"- — n-) -^ an.r(.r- — a-) -+- ai(.r2 — a-) = o;

si l'on remplace z-y et y'-z par leurs valeurs, et si l'on égale à zéro le coefficient de yz, on a

■3(2.r- — a--r- cxqÙ-) -h ) [ao(2.r'- — a-) -7- c-~\ — .r( //--i- aoc-) = o:

en égalant à zéro les coefficients de / ou de z, on a

z [ b- r^ — (.9. .r2 — a- )- ] — j:[c* — h- ( 2 jf- — a- )] .

Les équations que nous venojTS de traiter peuvent être résolues plus simplement, en ajoutant les deux dernières et en les multipliant entre elles, puis en éliminant y + z e\. yz. L'équation finale du huitième degré se ramène au quatrième, en posant a:-=z u.

37. Nous pouvons donner à la méthode que nous venons d'exposer une autre forme; elle revient, en réalité, à retrancher d'abord de l'une des équations les autres, multipliées par des polynômes déterminés. Par exemple, pour faire disparaître de /= o de degré n >/? les termes qui contiennent •r/', xP-^\ . . ., J-", au moyen de l'équation

o = .r/' -h (Il .ri'-'^ -f- . . . = o,

on a

ri> = r^ ^ . . . ,

OÙ kn-p est de degré n—p, en sorte que, pour faire disparaître les termes en xi', xp^\ . . ., on écrit

où B„..,, est un polynôme de degré n —p.

64 CIIAI'ITHE III.

J)e celle faron si cpi= o, 9,= o^ 93— o, 9i=o sont les équations considérées au n° 35, nous avons d'abord formé l'équalion

co 1 -H A '^ 2 -t- B cçs -i- C ççi = O ;

nous avons ensuite multiplié celte équation par un facteur, cl nous avons combiné le résultat de la même façon avec les trois équations 02=0, 93=^0, 9i=o; nous avons alors trouvé

Xi oi -H (Xi A H- Al ) cp2 + (>M B -^ B, )'^:j+ ( X, C + Cl )'^i = o;

et cette équation, quand on y suppose les coefficients du polynôme multiplicateur convenablement choisis, est la résultante ; en sorte que celle-ci est de la forme

X, C3, -!- I2 'f 2 -+- l-i 'i:! -^ Ài 'il = R-= O.

Théorème de Jacobi.

38. Pour simplifier, nous ne considérerons, dans ce qui va suivre, que deux équations; néanmoins, nos conclusions seront tout à fait générales, et nos raisonnements pourront sans difficulté s'étendre à un plus grand nombre d'équations.

Soient les trois équations

cp,(,r, r, 3 )= o, o.,{.r,j\ z)= o, 03(x,)-,z)=o:

pour la commodité du langage, nous supposerons que ces trois équations soient celles de trois surfaces. Alors les coordonnées de leurs intersections sont les solutions de ces équations. Soient m, n, p respectivement les degrés des équations en question, posons mnp = \j.\ nous désignerons par {xifiZi) les coordonnées des intersections et nous supposerons i = I, 2, . . ., /a.

Il existe un théorème important sur les fonctions symétriques des coordonnées des points d'intersection des trois surfaces, dû à Jacobi et que nous allons démontrer.

Soit f{œ):=.o, une équation ayant toutes ses racines a-,, ^•2, ..., œ„ distinctes; en désignant par (^{x) un polynôme

SUR l'élimination.

quelconque, la formule relative à la décomposition en éléments simples donne

an^ri'-i- a<xP-

Xi^{Xi)

V — Xi)j'{Xi)

formule d'où les termes entiers disparaissent si le degré de o{oc) est inférieur à « — i. Si l'on y fait x^o, on a

^(Xi)

el A- = G si le degré de o est inférieur à n Posons maintenant

A 1 1 'f 1 -i- A 1 2 cp2 -f- A 1 3 '^3 = X, X.lO,^ ÀooCpo-h A 23 93= Y, ''3 1 9Î "^ ''32 '^2 "+" ^33 93 ^ ^ '

X, Y, Z ne contenant respectivement que x, que 7 et que z ces quantités sont de degré [x; nous supposerons nos équa lions générales, en sorte que le déterminant fonctionnel

do,

doi

ùy

'dz

ôyj

do.

'ôx

sera différent de zéro aux points d'intersection de nos trois surfaces. Nous poserons

A- S±ÀnÀ22>^33,

\ sera le déterminant des équations (i), et nous aurons A'^/= A,X + R/Y-^C,Z.

Nous pouvons combiner les /ut. racines des équations X=:o, Y = o, Z==o ensemble de [x^ manières; ces combinaisons comprendront les coordonnées simultanées des /jt. inlersec- P. 5

lions de nos surfaces. Chacune de ces ii^ combinaisons annule A(f)i et, comme les 9 s'annulent à la fois et aux points d'intersection seulement, A devra s'annuler pour les autres combinaisons en nombre /ji* — (j..

Le théorème de Jacobi apprend h évaluer la fonction symétrique

OÙ ^ est une fonction entière quelconque, et oiî la sommation s'étend à tous les points d'intersection des trois surfaces. Si nous différentions les équations (i), en négligeant les termes nuls avec les ©, nous aurons

dj Ôf Ôf

Xj,Li -l-X,, JL +Xi3-i- =0,

et deux systèmes analogues. Formons le déterminant

et remplaçons ses éléments par leurs valeurs (2), nous obtenons le produit des deux dé erminants D et A, donc