Considérons d'abord trois équations des degrés m, n, p

(i) cp,„f.r, )■,:;) = 0, cp„(.r,j, 3) = o, o p(,r, j, 3) = o. Éliminons z entre les deux dernières, nous aurons

La dernière équation est de degré np, et <\ii, ^^ sont des fonctions entières. Si donc on regarde x comme une quantité connue, on aura np valeurs de y et np valeurs correspondantes de z. Nous supposerons les équations données homogènes dans le sens déjà donné à ce mot, c'est-à-dire que nous supposerons, par exemple, à y''z^ un coefficient d'indice m — /• — 5 dans la première équation, et ce coefficient sera une fonction entière de x dont le degré sera égal à son indice. Nos deux équations (2) sont alors homogènes dans le sens convenu.

Nous appellerons fonctions symétriques des np solutions ( r,, z^), (j-,, z.,), . . . des fonctions qui ne changent pas quand

68 CHAPITRE m.

on permute à la fois Zp et Zg, jp et y,/. Les fonctions symétriques des solutions seront des fonctions symétriques de Xi, y.2, ... si l'on y remplace ^i, z^, . . . en faisant usage de la première formule ( 2 ), et pourront être exprimées rationnellement à l'aide des coefficients de la seconde équation (2), coefficients qui sont fonctions de œ. Comme les équations dont on a fait usage sont homogènes, les fonctions symétriques homogènes par rapport aux solutions seront homogènes par rapport aux coefficients. Par exemple

sera transformé en

4^l(-r,.Vl) ^ . '}l(-^,j2) ^ •^''^2C-Ï,^l) ' •^'J^2(.r,j2) ' ■■■'

et sera exprimable en fonction de x seul, c'est-à-dire en fonction des coefficients des équations données. Comme nos fonctions symétriques sont fractionnaires, on doit s'attendre à ce que leur expression sera fractionnaire et que la différence entre le degré des numérateurs et du dénominateur sera le degré de la fonction symétrique. Nous allons prouver que le résultat est entier et que le dénominateur divise exactement le numérateur. En effet, s'il n'en était pas ainsi, il existerait des valeurs finies de x rendant infinies des fonctions symétriques entières de /i, ^1, y^, z,, . .., ce qui ne peut arriver que si l'une des quantités jj, c,, y^, z.2, ... est infinie. Or, les équations ^«= o, ^p=o sont tout à fait générales, même quand x prend une valeur particulière, et l'on sait que de pareilles équations n'ont pas de solutions infinies. La condition pour que la première équation soit satisfaite par un des systèmes trouvés est

(•}j cp„,(,r,)i,ci) ç>,„(x,j2, z,) ... Omi-^,fnp, z„p) = o;

ce produit est une fonction symétrique entière de o-,, jj, ./o, Yi, ... et peut s'exprimer en fonction de x; chaque facteur est une fonction homogène de degré m, et ce degré ne

SUR l'élimination. 69

change pas quand on passe des fonctions symétriques aux coefficients; l'équation finale est donc de degré mnp.

38. Si l'on élimine z entre o,n = o et9„ = o,on obtient une équation entre x et j de degré m«; si l'on élimine z entre <p„=o et cpp = o, on obtient une équation de degré np. En éliminant y entre ces deux dernières équations, on obtient une équation de degré mn-p, rationnelle en x. On ne peut donc employer ce procédé d'élimination sans introduire de solutions étrangères; mais on peut utiliser ces calculs pour obtenir y puis z rationnellement en fonction de x.

Il est facile d'interpréter les solutions étrangères, si l'on considère les deux équations en ^ et y : la première exprime (|ue o,n et 9,1 ont un facteur commun; la seconde exprime que 9„ et Op ont un facteur commun. L'équation obtenue par notre dernier procédé exprime donc que la première et la deuxième équation ont une solution commune, que la deuxième et la troisième ont une solution commune, tandis qu'il faudrait exprimer que les trois équations ont une solution commune.

Si l'on désigne par

les valeurs de z tirées des trois équations, on peut combiner, pour les égaler, une valeur de chaque groupe, ce qui peut se faire de mnp manières, tandis que l'on peut obtenir mn'^p combinaisons en égalant une valeur du premier groupe avec une valeur du deuxième, et une du deuxième avec une du troisième.

Si l'on considère, par exemple, trois équations représentant trois surfaces du second ordre, en éliminant deux fois z, on obtient les équations des courbes du quatrième ordre qui projettent l'intersection de deux surfaces sur le plan des xy ; ces courbes se coupent en 16 points; 8 de ces points sont les projections des intersections des trois surfaces; les 8 autres sont les projections de points d'intersections de parallèles à l'axe des z, avec les courbes, intersections qui sont distinctes.

39. Nous avons montré que, dans un système de trois équations de degrés m, n, p, deux inconnues pouvaient s'exprimer rationnellement au moyen de la Iroisième, cette dernière étant déterminée par une équation de degré m«/>. Nous avons montré que, si les équations étaient tout à fait générales, ce degré était précisément m?ip. Dans des cas particuliers, le degré peut s'abaisser; alors une ou plusieurs solutions sont infinies. De même, les valeurs de / et s exprimées en œ pourraient être indéterminées; ce cas se présenterait, comme on l'a vu, à propos de deux équations, si, à une valeur de oc, correspondaient plusieurs valeurs de r et ::, données alors par des équations de degré supérieur.

On voit facilement que la démonstration que nous venons de donner s'étendrait à quatre équations à quatre inconnues, et nous n'entrerons pas, à ce sujet, dans de plus amples développements.

40. La méthode que nous venons de donner pour le calcul des fonctions symétriques est très pénible et peut être simplifiée comme il suit : écrivons la première équation donnée

ainsi

a„i désignant les termes qui ne contiennent que x, et — u désignant les autres termes; si, comme plus haut, on remplace /i, Zi, Y-2, ^-i, ■ ■ • par leurs valeurs (3), u prend np valeurs «1, «2, . . ., et l'équation finale est

(4) (a,„— «i)(«,„ — M,) ■••{f',n—ihip) = o;

on exprime alors z rationnellement en fonction de .r et j [37(2)], et si l'on porte ces valeurs dans u, on a

Si l'on élimine/ entre cette équation et

<ll{x,J') = o.

on obtient une équation en u de degré np; et quoique u se

SUR l'élimination. 71

présente sous forme fractionnaire, on voit, comme plus haut, que les coefficients de l'équation en u sont des fonctions cnlières de x. Comme l'équation en 11 peut s'écrire

il suffit d'y remplacer « para,,, pour obtenir l'équation finale. On pourrait aussi bien tout de suite remplacer u par a,„ dans (5), ce qui revient à éliminer y de l'équation ^' = 0 et de la première après en avoir fait disparaître z. Mais la forme du résultat serait changée, et l'on ne verrait pas immédiatement le facteur que l'on doit supprimer, tandis que l'on sait que, quand on a u, c'est le coefficient de u"''.

Exemple. — De

on tire

éliminons y entre les deux équations en j, le coefficient de là sera supprimé et, à la place de u, on mettra a^ — x-; on retrouve ainsi l'équation en x du huitième degré trouvée page 62.

Transformations linéaires.

ki . Étant donnée une équation, on peut en déduire d'autres dont les racines sont liées aux racines de la proposée par des relations données.

Étant donnée l'équation

(i) fU) = o,

on peut former une équation

telle qu'entre les racines x et u de ces équations il existe la relation

a -h bu a — ex

du dx — /;

où a, b, c, d sont indépendants de u et de x.

Pour obtenir l'équation (2), il suffit de remplacer dans (i) .a; par sa valeur (3); on obtient ainsi l'équation

qui, après l'évanouissement des dénominateurs, se ramène à la forme ordinaire.

Pour résoudre l'équation (1), on peut résoudre l'équation <p(«) = o et remplacer, dans l'expression de x en fonction de u, u par sa valeur; les équations (i) et (2) sont donc de

TRANSFORMATION DKS ÉQLATIO.NS. ^3

même degré et chaque racine de l'une fournit une racine de l'autre. Si l'une des équations est irréductible, l'autre l'est aussi; en effet, si l'une d'elles était réductible, elle se décomposerait en d'autres plus simples que l'on pourrait transformer individuellement, et l'autre équation serait elle-même décomposable.

On peut effectuer la transformation en posant successivement

/; ad — hc c

a (l-((i et

de sorte que les transformations linéaires se ramènent aux trois types

./■ = ■xu: .f = u -T- Il : .1- = - .

i2. La substitution a; = 1x11 fournit une équation dont les racines sont avec celles de la proposée dans un rapport fixe. Si l'équation proposée a des coefficients fractionnaires (le coefficient de la plus haute puissance de l'inconnue étant réduit à l'unité), on peut toujours disposer de a de telle sorte que l'équation transformée ail tous ses coefficients entiers. Si l'on a, par exemple,

Si l'on pose x^^ -, et si l'on multiplie par a", on a

(l\ <U fin

ce (?;) = ?/" -^ - aw"-' -1- ~T^ y.-u"-'^~\- . . .-h -r™ «" = o: pour que -p y., V y.'-, . . ., "r' a" ijerdent leur forme fraction-

naire si toutes les fractions 7-^, ,-, ••• sont irréductibles,

il faut que a contienne les facteurs premiers ou littéraux qui entrent dans 6,, b.^, . . ., b,i. Pour trouver l'exposant q avec lequel un facteur (3 doit entrer dans a, on observera que (3/"^ entrera en facteur dans ot^; si donc, dans le dénominateur b,,.

il entre le facteur (3'", il disparaîtra si pq^ r ou si ^=-- On

divisera donc les exposants des facteurs qui entrent dans les dénominateurs par l'indice du terme correspondant et l'on

prendra pour exposant g de (3 le plus petit entier tel que g=-'

Exemple :

les exposants de a dans les dénominateurs sont

I, ■■>.. 4, 3, en les divisant par i, 2, 3, 4> on a

la valeur entière minima plus grande que toutes ces quantités est 2; un calcul analogue pour b donne

on a ainsi

et l'équation transformée devient

II'* -+- a u^ -+- a- h 11^ -+- a- b u -{- a^ l> = o ;

si l'on prend a = —i, ou a: = — u, on obtient une équation dont les racines sont égales à celles de la proposée changées do signe.