La substitution

.r = Il -{- Il

peut servir, en choisissant convenablement /i, à faire disparaître un terme de l'équation. La formule de ïaylor, en l'appliquant à

(5) f{x) = ^"-H axX'i-'^-\- aiX'^-^-\-. . .4- a,i-iX -\-an= o,

TRAXSFORMATIOX DES ÉQUATIONS. 76

donne, en effet,

le coefficient de u" est i, car f" {h) = ni; le coefficient de i/"-^ est «1+ nh; on le fera disparaître en prenant

Le coefficient de ii"~- est

«'2^- (// — f )rti// + 2 "(" — i)/'"!

et on pourra le faire disparaître de deux manières par des choix convenables de h. En général, le coefficient de u"-'' pourra s'annuler pour p valeurs de /i qui sont racines d'une équation de degré/?. Si l'on veut annuler le dernier terme, il faudra résoudre une équation du degré n, qui, au nom de l'inconnue près, sera identique à la proposée, ce qui s'explique en observant que faire disparaître le dernier terme, c'est exprimer que l'équation transformée a une racine nulle, ce qui revient à trouver les valeurs de h qui, soustraites des racines de la proposée, donnent une différence nulle. Les valeurs de h en question sont donc les racines de la proposée. Exemple :

se ramène

à la

forme

• -\- au -(-/> =

en posant

alors

= ii-4^

Ij==C-

44. En combinant les deux substitutions dont il vient d'être ([uestion, on obtient la suivante :

Nous examinerons le cas particulier

Il peut arriver que l'équation en u, abstraction faite du nom de l'inconnue, soit identique à l'équation proposée: si Xi est alors une des racines de cette dernière, h — Xy en sera une autre; appelons-la x^', alors

comme jt, est une racine arbitraire, l'équation jouira de cette propriété que les racines ont deux à deux pour somme h, et, si l'équation est de degré impair, une racine sera égale à -■,

et le facteur x peut être éliminé par la division; nous

supposerons alors l'équation de degré pair.

Une telle équation peut être résolue à l'aide d'une équation de degré moitié moindre et d'équations du second degré. En effet, si l'on pose

(9) j = x{h — x) ou x'- — lix + y = o

dans l'équation donnée (5), y n'aura que - valeurs; car

y y = ,ri (// — Xi) cl j-2 = '^3 ( /' — -^2 )

sont égaux en vertu de la relation x^ + j-^zz: h.

Les fonctions symétriques des j seront aussi des fonctions symétriques des x; cette considération permet de former l'équation en j; mais on peut aussi l'obtenir en éliminant x entre (5) et (9).

Si l'on peut résoudre l'équation en j, f{x) pourra se décomposer en - facteurs du second degré comme il suit :

i'{x) = {x'^ — hx-^yi ) {x'- — hx -hy-,) . . . rx'^— /ix-hy„y

On voit, en comparant cette valeur de/(.?^) avec (5) que

Si l'on veut vérifier qu'une équation jouit de la propriété en question, il n'y a qu'à voir si elle est inaltérée quand on

change a- en — — ' — j:-.

Exemple :

x^ — 9^5 -T- 3o.r'* — \^x^ -h •i.a.r- -\- (Sx m '\ =: o.

Celte équation ne change pas quand on remplace x par 3 — .r; si l'on élimine x à l'aide de la relation

x2 — 3.r -+-J = o, on trouve

qui se décompose en

j — I = (, et r^ — 2.)- — 4 = 0.

Équations réciproques.

iîi. Si, dans une équation dans laquelle x est l'inconnue, on fait la substitution

on obtient une nouvelle équation dont les racines sont les inverses des racines de la proposée. Si l'on tombe sur une équation identique avec la proposée, celle-ci a ses racines deux à deux inverses l'une de l'autre; si elle est de degré pair et si elle est de degré impair, une racine devra être égale à ± I. Dans ce dernier cas, on supposera que l'on ait écarté le facteur xzj-i par la division; alors l'équation peut être résolue au moyen d'une équation de degré moitié moindre et d'équations du second degré.

yo CHAPITRE IV.

En effet, si l'on pose

( 2 ) y = j: -, — . ou .r2 — .r/ -+- I = o,

les valeurs de y

Ji = "ï"lH J et yo= X.i-\

.ri X2

seront égales ?,i x^x^^zi; y a donc moitié moins de valeurs que X. On obtient l'équation en y, en éliminant x entre la proposée et (2).

La condition pour qu'une équation soit réciproque est

(}u'elle reste inaltérée quand on y change x en -; dans le cas

où l'équation est de degré pair, il faut que la suite des coeflicients soit symétrique (le premier doit être égal au dernier, le second à i'avant-dernier, etc.)- Si l'équation est de degré impair, la suite des coefficients doit être symétrique si l'on peut diviser le premier membre par ^ 4- i ; si le premier membre peut être divisé para- — i, la suite des coefficients doit être symétrique, à cela près que les coefficients numéri- ([uement égaux doivent avoir des signes contraires. La forme générale des équations réciproques de degré pair est donc

(3) j:2«-f- 1 -^ rti(j;2«-i-4- x)-\- a2(x-'i-'~- X-)—. . .-h anX"-= o.

La réduction peut s'obtenir de la manière suivante : on divise par x'^ et l'on a

on pose

d'où

et, en multipliant membre à membre ces deux formules,

En général, si l'on fait (6)

en multipliant par ^ + - =/, on a

(7) ■'''p+\=J'Sij — S,,-i,

formule qui permet de calculer successivement s^, s^, s^, ....

On obtient une formule générale pour le calcul de s,, à

l'aide de la théorie des fonctions symétriques. En effet, œ et

- sont racines de l'équation

Or on a trouvé [2ï, (i5)]