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^> =fp-pj"-'--^ ' \ ^ V- + - • •
+ (,|xLli \ -.^'- ^ -^;/'-2H-^....
Quand le produit de deux racines quelconques d'une équation est égal à k, on abaisse cette équation par la substitution
d'une manière analogue à celle qui permet d'abaisser les équations réciproques.
Exemple :
en divisant par o^ — i, on a
JO^ -\- x^ -{- x'* -^ X^ -^ X- -^ X -\- I = o ,
8o CHAPITRE IV.
que l'on peut réduire à
Exercice. — La substitution
a -+- bu
peut être utilisée pour faire disparaître le deuxième et le troi sième terme de l'équation du troisième degré.
Formation des équations dans lesquelles une racine est fonction de plusieurs racines d'une équation donnée.
46. Jusqu'ici, l'équation cherchée avait chacune de ses racines fonction d'une seule racine de la proposée. On peut aussi former des équations dont les racines soient fonctions de plusieurs racines de la proposée. Un exemple de ce cas a été traité lorsque nous avons cherché l'équation aux carrés des différences dans laquelle chaque racine est déterminée par deux racines de la proposée. D'une manière générale, on peut déterminer une racine de l'équation cherchée au moyen de la relation
On obtient alors toutes les racines de l'équation cherchée, en remplaçant les p racines œ qui figurent sous le signe / par les racines de la proposée de toutes les manières possibles; si l'on suppose que / soit une fonction rationnelle, cette fonction aura autant de valeurs qu'il y a de manières de prendre p racines parmi celles de la proposée. Si l'on représente les valeurs par /i,/., . . ., /jj., l'équation cherchée sera
( 2 ) (7 - /i ) ( j- -j'i)--- {.y -fu. ) = o.
Comme le premier membre de cette équation est une fonction symétrique de /i, /.,, . . ., /^, il sera aussi une fonction symétrique des racines de la proposée et pourra s'exprimer
TRANSFORMATION DES É0U4T1ONS. 8l
l'alioiinellemeiit en l'onction de ses coefficients. L'équation cherchée aura donc ses coefficients rationnels, si les coefficients de la proposée sont eux-mêmes rationnels, et son degré sera le nombre des valeurs de la fonction /.
47. On peut suivre une autre voie pour trouver l'équation cherchée et faire usage de l'élimination; mais on peut ainsi introduire des solutions étrangères dont il faut se débarrasser. Considérons, par exemple, l'équation générale de degré n et proposons-nous de trouver l'équation dont les racines sont données par la formule
(3) r = .ri -H ocro, OÙ y. est un nombre donné; on en tire
(4) .r, :rr V — a.r.
et, comme jt, est racine de l'équation donnée/(.r) = 0,
Si l'on ordonne cette équation et si l'on écrit a- au lieu de x.y, on a
Ces deux équations doivent avoir une racine commune, ce (|ue l'on exprime en éliminant x; la résultante est l'équation cherchée en /.
On voit que les équations (6) auront une racine commune ((uand on aura
Y = .r,, -r- a ,ZV/,
ce qui n'exclut pas le cas où l'on aurait Xp^^x^j contrairement à ce que l'on suppose : l'équation transformée aura donc pour racines étrangères les valeurs de (i -\- a)Xp; toutes ces quantités sont racines de
et pourront être écartées. Alors la résultante, qui était de P. 6
degré nP-, pourra être réduite au degré n{n — i), et aura pour racines les valeurs de a.\ 4- y.x.2, a-, et x, étant supposés différents.
Pour a = r, les racines de l'équation finale deviennenl égales deux à deux et, par une extraction de racine carrée, cette équation se réduit au degré "~^ ^ nombre des valeurs distinctes de ^i-H jc.,.
Plus loin, nous développerons une autre méthode qui permettra de faire usage de l'élimination sans introduire de solutions étrangères. (Voir Calcul des racines imai^inaires des équations numériques. )
D'une manière analogue, on voit que l'équation qui a pour racines les produits des racines prises deux à deux des racines de l'équation proposée s'obtient en éliminant .r entre
(9) .f{-'^) = ^ et /('-j^O'
la résultante admet comme racines étrangères les carrés des racines de la proposée.
48. On peut utiliser les relations qui existent entre les coefficients et les fonctions symétriques des racines pour écarter de l'expression donnée plusieurs racines et ensuite faire usage de l'élimination. Soit, par exemple, l'équation
et
Si l'on fait usage de la relation
qui donne
on obtient l'équation cherchée en éliminant /■ entre la p posée et
x{y ^i) -uja,=: o.
Si l'on voulait avoir, pour la même équation, l'équation aux carrés des différences, on aurait
j = (.vi — .r, )' = (-Ti ~ ./-o )2 — 4 .r, .r, = (aj -f- .rj ^-^ -^^ et il faudrait éliminer .c entre la proposée et
.r>- = .r(ai + ,r)2+4a3.
Méthode de Tschirnaùs pour faire disparaître des termes d'une équation.
