Soit donnée l'équation

< i ) x-" -+- «I a:"-' ■+- Oi.r'i-- -h. . .-h fia-i -T -f- ('il — o ; |)osons

( i ) Y ~ Ijo — hi ./■ -h ^2-l"- -t- • • • -i- ^p '^l',

oiip<n. Si l'on élimine œ entre (i) et (2), on obtient une équation de degré n en y, car y a autant de valeurs que a;. Pour éliminer a;, on peut faire usage des méthodes exposées plus haut; on peut aussi procéder comme il suit : On élève (2) au carré, au cube, etc., en éliminant à l'aide de (i) les puissances de X supérieures à la (« — i)'^""^, on obtient ainsi une série d'équations de la forme

< J ) \ )^ — cZo -i- di .r — cf^x^ -^ . . . ,

remplaçons, dans ces équations, ce successivement par toutes les racines de (i); en ajoutant les équations ainsi obtenues et en appelant Si, s.,, ... les sommes des puissances semblables des racines de (i); Si, S,, ... les sommes des puissances semblables des valeurs de r, on aura

' Si=-- flbo^ biSi-^ b.2S2-h. . .,

! S-2 = nco -h CiSi-i- C2S,-\- . . .. S3 = iuIq -^ di Si -+- d.2 .y2 -I- . . . .

0Z| CllAITlRE IV.

Si, S,, ... pourront être calculés en fonction des coefficients de l'équation (i) et, inversement, les coefficients de l'équation cherchée pourront être calculés en fonction de Si, S2, ... à l'aide des formules connues. Les coefficients indéterminés bo, bi, ..., b,, pourront être déterminés de manière à faire disparaître p coefficients de l'équation en /. Si l'on pose ainsi

Si =0, 82= O, S;j = O,

on fera disparaître le deuxième, le troisième et le quatrième terme. La première équation est du premier degré, la deuxième du deuxième degré, la troisième du troisième degré par rapport aux coefficients indéterminés. On voit qu'il faudrait, en apparence, résoudre une équation du sixième degré pour faire disparaître ces trois termes; maisJTerrard a montré qu'il suffisait pour cela de résoudre une équation du troisième degré.

La première équation Si^ o est homogène et du premier degré en b^, b^, . . .; à l'aide de cette équation on peut éliminer un coefficient dans 82 = 0 et S-j=:o qui sont homogènes du deuxième et du troisième degré, et qui ne cessent pas de l'être après l'élimination du coefficient en question. Prenons p-=^(\-, on pourra disposer de cinq coefficients; S2 est alors une fonction homogène du second degré de quatre d'entre eux et peut se mettre sous la forme {voir 50)

aipf -t- o..p\ — r/.^p\ -^ -x.^pl,

«1, «2? «3» 2^1 étant des nomhres connus et /^i, p.i, p^, p,^ des fonctions linéaires homogènes des coefficients indéterminés. Si l'on pose

(5) ai/>»f -^ a./j.] = o, «s/?! -^ a.pl = o,

on obtient, au moyen d'extractions de racines carrées, deux équations linéaires, à l'aide de ces équations, on pourra faire , disparaître deux coefficients indéterminés de 83^:0; l'un j(/:iW dl^ilX est arbitraire, l'autre sera déterminé par une équation du troisième degré qui, résolue, fournira les valeurs des autres coefficients.

TKA>SFORMATIO>' DES ÉQUATIONS. 85

50. Nous avons admis qu'une fonction homogène du deuxième degré pouvait affecter une certaine forme particulière, et il nous reste à le prouver, ce qui se fait comme il suit :

Soient ^i, ^o» • • •> -^n, « variables; une fonction homogène du deuxième degré de ces variables peut se mettre sous la

forme

a-2.r-2^aaP.r,-Q,

OÙ a est un coefficient rationnel ou iiralionnel cl P et Q sont respectivement du premier et du second degré et ne contiennent pas ^i; celte expression peut se mettre sous la forme

(a.r,-hP)2-4-Q-P2,

où Q — P* est une fonction homogène du deuxième degré qui ne contient pas o^i et peut être traitée comme la précédente. En continuant ainsi, on décompose la fonction donnée en un nombre de carrés au phis égal au nombre des variables.

Cette démonstration est en défaut lorsque tous les termes de la forme axf manquent. Dans ce cas, la fonction est de la forme

xix,-^ Xxi — Bxi = (.r, -^ B)(.r, -+- A) — AB,

où A et B sont indépendants de ^i et ^2 ; mais alors on a

(J7i — B -+- x,-v A)2— (^l-^ B — .r-j — A)'^ = 4(.fi -1- B)(^2-^ A),

et nous pouvons, en introduisant deux carrés, nous débarrasser de deux variables.

Nous reviendrons plus loin sur cette question.

Si l'on applique la méthode précédente à l'équation du cinquième degré ou à l'équation aux inverses, on obtient les transformées