L'équation ilu Iroisième degré (1) .r
est irréductible. Ses racines sont i, a et (3, et l'on a
entre ces racines, on a les relations remarquables
L'équation générale du troisième degré, ou équation cubique, est de la forme
la substitution
la ramène à la forme
que l'on peut résoudre de plusieurs manières.
52. Nous remplacerons ^ par deux nouvelles inconnues p, <7, en posant
(4) x=--p^f/, l'équation (3) deviendra alors
p'-^ — q^— b — { 3pq -~ a )( p — q ) ^= o,
et sera satisfaite si l'on détermine /? et y au moyen des deux équations
(5) p^ — q-^= — h\ pq=—y
En élevant la dernière au cube, on a
11 est à remarquer que l'on obtiendrait encore cette dernière équation en remplaçant a par aa ou Sa. p^ et cf sont racines de l'équation
(7) ^2^hv-~ (j^'=o,
et sont déterminés par les formules
d'où Ton conclut
/*/ b Ifby /ay /'. b /[by (ay
'SI) — v-ï-^vG) "(3)^1- 5-^(5)^(3) ■
formule connue sous le nom de formule de Cardan. Comme une racine cubique a trois valeurs, on a, pour x, neuf valeurs; il s'est donc introduit six racines étrangères; cela tient à ce ((ue l'on a remplacé la deuxième équation (5) par (6) :
l'équation du troisième degré ou équation cubique. gi les neuf valeurs sont racines des trois équations
i a:- -+- a.jc -+- b =-- o, ( I o ) ' x^ -4- a <v X -^ /; — o.
Pour séparer les racines de ces équations, nous oljserverons que chacune d'elles est relative aux hypothèses respectives
a ifx n'i
( M ) /;./ ^ — - ; pq ^ - y ; l^'l - - Y *
Si a et ^ sont réels, p et q doivent être choisis de telle sorte que leur produit soit réel. Nous avons trois cas à considérer:
r' i-\ -+- (^) >o, />•' et (f sont réels, p ei q ont un système de valeurs réelles; si l'on désigne ces valeurs réelles par pi et 7,, tous les systèmes des valeurs de p et q seront
'12) px. /J,a, p/y. 7,. 7, a. 71^3,
et l'équation proposée aura pour racines
•*i = /?!-- 71; ■'Ci = p\^ — qi'^\ ■£i=p\'é-^q\^,
de manière que/»'/ soit réel dans tous les cas. La deuxième ot la troisième équation (10) auront pour racines
/;, -^7,a; pr^-qr. pi'ii -^ qi'i,
Pi^qi?- pi'^-qr. /i a -+-./, a- On peut aussi poser
et l'on n'obtient alors que les véritables racines. Dans le cas ([ue nous venons d'examiner, l'équation a une racine réelle et deux racines imaginaires.
2» Si I - ) ^- ( ô ) =: O, />, et qi sont égaux, 1 équation a ses
racines réelles; mais deux d'entre elles sont égales.
3" (r)~(^)<^- Dans ce cas, yj^ et (7" sont imaginaires, p et q sont également imaginaires, mais on peut accoupler leurs valeurs de manière que /"7 = — - soit réel; soient p^ et ^1 de telles valeurs. Les formules (12) fourniront encore les racines, même lorsque a et b sont imaginaires.
Quand a et b sont réels, les racines affecteront une forme imaginaire; il est facile de montrer qu'elles sont réelles. On a, en effet,
^-^a'-œ'-ii;
Si l'on pose alors
(.3) -^=,.cosO. ^-^/(^y(|y=rsinO,
on trouve
(16) /)■*= /'(cosO — j sin9); <r/^ = /-(cosO — /sinO),
ou
^n"-(ii
(17) ^= 1/ -U ; cose-
v-iïï
6 est donc dans le premier ou le second quadrant, car sin 5 est positif. On a alors
et
? = 1 / — , ., ( cos ;^ ; sin 1 ;
X = 24/ — - cos
où k doit recevoir les valeurs o, i, 2.
l'éolatiox du troisième degré ou équation cubique. g'6
Les trois racines, clans le cas qui vient de nous occuper, sont donc réelles et inégales. Ou lui donne le nom de cas irréductible. On ne peut représenter les racines au moyen de radicaux que sous une forme imaginaire.
Lorsque l'on essaye de calculer p el q sous la forme
A rii B v/ ^
sans faire usage de fonctions trigonométriques, on est fatalement ramené à l'équation donnée.
Méthode de Lagrange.
53. Lagrange cherche à déterminer une fonction des racines qui, une fois connue, permette d'en utiliser les racines. La fonction considérée par Lagrange est
(r) y = {xi—OLX, — p.r-,Y,
OÙ Xi, x.,, cTs sont les racines de l'équation proposée et a, j3 les racines cubiques imaginaires de l'unité. Cette fonction dépend d'une équation du second degré; en effet, elle n'a que deux valeurs, caries six valeurs qu'elle semble prendre quand on y permute les racines ne sont pas distinctes; ainsi, on a (ol)
et
y n'a donc, en réalité, que deux valeurs distinctes, soil
ji= {xy — 'xxi+ ?■2•3)•^ j2= {■xxi — Xi^ 3x3)3,
dont la somme et le produit peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des coefficients de l'équation. On trouve
^ --T- l'/bf — i-cû = o,
et les racines sont données par les formules
.Xi -1- a.r2 -+- (3x3 — Y Yi ;
Nous ne ferons pas de discussion.
Méthodes de Tschirnaiis et d'Euler.
5i. Ces deux méthodes, au fond, rentrent l'une dans l'autre ; en posant
(i) r^H-/;/-Hr/ = ,f,
et en choisissant /> et q de manière qu'en éliminant / entre cette équation et
on trouve l'équation proposée. On peut aussi se proposer de ramener l'équation à la forme (2) en posant
Exemple :
.ty^ + ,r- — 'îx — 1 = 0,
cosO = — ""' — — '-—; 0 — 79" 6' 24".
•1 /- 9,/5Tr-t-f) r =- 3 v7C0s-^-^
Problème. — Quelles sont les équations irréductibles du troisième degré dont une racine peut s'exprimer rationnellement au moyen d'une autre?
