Tschirnaiis ramène l'équation à la forme

J*-t-PJ2^-0 = 0

en posant

j = r/ -^ ùx -\- x^

et il détermine a et b de manière à annuler les coefficients de y^ et de y.

Euler élimine y entre

X = a -+- hy -\- cy- -+- dy^ et

et ciéierniine a, b, c, cl et e de manière que la résultante coïncide avec l'équation proposée. Nous n'indiquerons pas comment les racines de la proposée dépendent de l'équation du troisième degré que l'on obtient ainsi. Euler a aussi indiqué une méthode analogue à celle de Iludde pour le troisième degré en posant

on peut disposer de/?, q, r de manière à décomposer l'équation en trois autres qui font connaître />^+^-4-/'\. /f'g--{-p-r--{-rj-r-,

L ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ, ETC. gg

et pcjr; p^, q"' et /'- sont alors racines d'une même équation du troisième degré.

Étude approfondie de la méthode de Descartes.

59. Dans la pratique, il convient de donner la préférence à la méthode de Descartes, en la modifiant un peu. On ramènera d'abord l'équation à la forme

(i) x*-\- ax''--^hx -\r c — o^

et l'on posera

(2) x'*-\- ax--i- ù X -\- c = {x- -\- X X -h '^) {x^ — a.r-f- y),

et, par suite,

(3) .oc2+P + .^ = ,,, «(.^P) = ^,, ^^{ = c,

on en déduit

4l3Y = 4c = (« + a2)2^, ou

(4) a^-\- iaa'*-i- {a- — 4^)»" — //-=o; cette équation, en posant «- = /, devient

(5) r^-h lay^---- {a^- — ^c)y — b'^ — o;

l'équation en a a six racines, à savoir les six valeurs de x^ -H d?, ; elles sont, par couples, égales et de signes contraires, car (i) donne

Xy-r- .ro 4- JTj -H X4 = o.

Si a et h sont réels, le dernier terme de la résolvante est négatif; elle a donc toujours une racine positive et les deux autressont toutes deux positives, négatives ou imaginaires; a-=.\jy sera alors réel au moins pour une valeur de 7 ; or

(6) p^îizt^A:

deux racines seront donc fournies par l'équation

et l'on obtient les deux autres en changeant a en — a.

On voit que les racines de l'équation proposée sont données par de simples extractions de racines carrées, sila résolvante a une racine rationnelle, et cette condition, comme on le verra plus tard, est nécessaire et suffisante pour que l'on puisse résoudre la proposée au moyen de racines carrées.

Si l'on a

«2 al)

pour les deux valeurs, l'équation (7 ) du second degré montre que les quatre racines sont imaginaires; elles sont toutes réelles si l'on a, au contraire,

et, si ^ + - est compris entre + et . deux racines sont

réelles et deux autres imaginaires.

Si l'équation proposée a des racines égales, les deux équations du second degré considérées plus haut auront une racine commune, ou bien l'une d'elles aura une racine double; dans ce dernier cas, on a

et, comme on a a^r=j', on peut écrire celte équation

Cette équation devant avoir une racine commune avec la ré-

l'équatiox du quatrième degré, etc. ioi

Suivante, celle-ci doit être réductible. On arrive à la même conclusion en admettant que les équations du deuxième degré ont une racine commune.

60. Nous avons vu que nous n'avions besoin de connaître qu'une seule racine de la résolvante pour en déduire toutes les racines de la proposée; on peut aussi utiliser toutes les racines de la résolvante; appelons-les a,, al, al, on aura

XTXiX,

ou 01 j «22:3= f^-

car on peut choisir a^, a^, «3 de telle sorte que leur produit ait le signe de b.

La quantité placée sous le radical dans les racines de

peut prendre une autre forme; on a, pour x = aj,

a- a b fa-iH- <x.^)-

4 J. lOL .\

et alors

Xi 1 — a,d=(a,-+-3r3) ^2 \ 2

de même

x^ ) ot,±(a.,-^a3)

La résolvante a toujours une racine positive; soit a\ cette racine, et a, la valeur positive de \Ja\. a^a^ doit alors avoir le signe de b\ trois cas peuvent se présenter :

1° al et a\ sont tous deux positifs, a^ et «3 ont le même signe si b est posilif; ils sont de signes contraires si b est négatif : les racines de la proposée sont toutes réelles.

2° a\ et al sont tous deux négatifs. On posera

m et n étant positifs; on a alors

a2 = qz « \/m ; a^ = ±i^i

102 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. II. — l'ÉQUATION DU 4'' DEGRfi.

si b est positif et

si b est négalif ; les racines de la proposée sont imaginaires dans le cas où m et n sont inégaux. Si m^n, deux racines sont égales, les deux autres imaginaires.

3° a\ et y.\ sont tous deux imaginaires; alors on posera

a| = r2(cosô-i-/sinO); a| = r2(cosO — JsinO) et

r ( cos — h t sin

/■ ( COS i sin- 1:

et les signes de /• seront les mêmes ou non, suivant que b sera positif ou négatif; dans le premier cas, on a

dans le second,

— ai± 2rcos -

Xi \

ai ± iir?,\n-

— ai± 2irsin-

^ 0 ai±2rcos-

l'équation proposée a alors deux racines réelles et deux racines imaginaires.

l'équation BINOME. Io3