L'ÉQUATION BINOME
Expression des racines au moyen des lignes trigonométriques.
Gl. On appelle équations binômes les équations de la forme
Nous avons déjà rencontré des cas particuliers de cette équation; nous allons maintenant nous occuper du cas général.
Si a est imaginaire, par exemple, si
rt = <7l-r- ibi,
on pose
ai = r cosfi, /-'i=rsinO;
on trouve
z = v ri cos -^ ■ -i- i sin —
Cette formule donne les n valeurs de z en attribuant à p n valeurs entières consécutives. Les racines sont imaginaires, car, pour obtenir une valeur réelle, il faudrait avoir, pour une valeur entière de/?,
ipr.
k désignant un entier, ce qui ne peut avoir lieu que si 5 = o ou B=iT., ce qui suppose b = o.
Si a est réel et si k désigne le nombre positif tel que
l'équation (i), en posant
devient
On obtient, comme plus haut, pour les racines de (5) .r« = i,
= cos
. . -xpr.
- i sin — — , n
et pour
celles
de
cos
^ i sm ^—i-
Dans le premier cas, on obtient une racine réelle pour ipr. == G ou 2/?7r = II-, en attribuant à p les valeurs
Si n est impair, on ne peut prendre que /> = o, ce qui donne X ^i; si /i est pair, on peut prendre p =zo et p = - j d'où l'on lire ce :=i et j:- = — i. Les autres racines sont imaginaires et conjuguées deux à deux.
Dans le second cas, on a des racines réelles en prenant
2/) -4- [ — o, et ip -i- i = n;
la première équation n'a pas de solution, et la seconde n'en a que si n est impair; si n est pair, on n'a que des racines imaginaires; si fi est impair, on n'a qu'une racine réelle .27= — i; les racines imaginaires sont encore ici conjuguées deux à deux.
l'équation BhNOME. 100
Propriétés des racines.
62. Les racines des équations binômes jouissent de propriétés dont on fait un fréquent usage; nous considérerons spécialement l'équation
Les racines communes aux équations X" = I et .t"" = 1 sont racines de l'équation
xi = l,
où q est le plus grand commun diviseur de m et n.
Cela résulte de ce queccf—i est le plus grand commun diviseur de x"^ — i et ^" — i .
