Si p est un nombre premier, toutes les racines de

XP= I

pourront être représentées par

a, a-, «3, . . . , aP,

a désignant une quelconque des racines.

Comme tous les termes de cette suite sont racines, il suffit de montrer qu'ils sont tous inégaux. Or, si l'on pouvait avoir

OÙ ^ > /•, on aurait ainsi

et comme a n'est pas nul, a devrait être racine de

ce qui est impossible, car (62) 7 — r <.p et l'équation précédente ne peut avoir d'autre racine commune avec la proposée que l'unité. Si p n'est pas un nombre premier, plusieurs termes de la suite a, a-,a^, ... pourront être égaux, en sorte que cette suite ne fournira pas nécessairement toutes les racines.

On appelle racines primitives celles qui ne satisfont à aucune autre équation de la forme x'J=zj , oii q est moindre que p. Si p est un nombre premier, toutes les racines sont primitives, excepté l'unité. Si p n'est pas premier et si a est une racine primitive, toutes les racines sont comprises dans la suite a, a-, a% . . ., qui sont déterminées par des équations binômes. Si p est une puissance de nombre premier, toutes les racines sont primitives, à l'exception de celles dont l'exposant est une puissance de p inférieure au degré de l'équation. Ainsi — i et H- i sont racines primitives pour /? = 4, alors que —I et H- 1 ne le sont pas, vu qu'ils sont racines de x'''z=]. Toutes les racines peuvent être représentées par a, ot}, a?, a'*, si a :=±: /; mais non si <xz=.±i.

On peut démontrer comme il suit qu'il existe pour toute valeur de n des racines primitives; si, en effet, toutes les racines pouvaient satisfaire à des équations de degré moindre que le degré de la proposée, on aurait pour chaque valeur de/)

-IPJZ O.py- Il /Il

où «,< «; ce qui ne peut avoir lieu que si - est réductible à une plus simple expression. Il y a donc autant de racines primitives que de nombres entiers inférieurs à n et premiers avec n ; ce nombre est, comme l'on sait, égal à

PU \ PJ \ Pqt

Pi, p.2, ■ . ., Pq étant les facteurs premiers de n.