L ÉQUATION BINOME. IO

65. Si m et n sont premiers entre eux, on obtient toutes les racines de a;'"" = i en multipliant toutes les racines de ■j^m.-— j pdf^ toutes les racines de x'^zzii.

En effet, si les arguments des racines dea^'"=i elx'^z=i\

ipr^ 2<7TC ,, , , 1 .. 2-(nm -h pn)

sont-^— el -J— 1 argument de leur produit sera '- —

Ce produit sera donc racine de x""'=zi; il reste à prouver que tous les mn résultats ainsi obtenus sont différents. S'ils ne l'étaient pas, on aurait, par exemple,

qm -\-pn = qi/n -\- pi'i OU

n q — qi'

ce qui est impossible, car m et n sont premiers entre eux et Pi—p<m, q — qi<n.

On voit facilement que ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque d'équations binômes dans lesquelles les exposants de l'inconnue sont premiers entre eux. Les équations de la forme x'^^zi peuvent donc être ramenées à d'autres dans lesquelles les exposants de l'inconnue sont des puissances de nombres premiers.