L'équation

XP^ = I ,

où p désigne un nombre prétnier, peut être résolue à l'aide

d'équations de la forme

xP= a.

En effet, l'équation proposée peut être résolue au moj€n des suivantes

xP=^y', o£//=ot,, af=a3, ..., «/',— I.

Si, en résolvant ces équations, on prend une racine quelconque, pourvu qu'elle ne soit pas égale à i, la valeur de x, à laquelle on parvient de cette manière, est une racine primitive de la proposée, sans quoi elle donnerait, pour l'une des

I08 DEUXIÈME PARTIE. — CIIAP[TRE Ilf.

quantités «i, a,, . . ., la valeur i, ce qui est contraire à nos hypothèses; on trouve, de cette manière, une racine primitive de la proposée, et ses puissances donnent les autres racines. Nous venons ainsi de prouver que toute équation de la forme

peut être ramenée à des équations la forme

OÙ p est un facteur premier de n, a étant déterminé comme on vient de le dire.

67. Les fonctions symétriques des racines de ^"— i = o sont faciles à calculer; on a, en effet,

Sn = .i-P -f- .r'^ -i- . . . -4- x'' = a/' -i- x'^r -+-... -m ,

a désignant une racine primitive. Si p n'est pas divisible par n, le numérateur de la fraction est nul, le dénominateur ne l'est pas, ainsi 5^=0. Si/? est divisible par n, la fraction prend une forme indéterminée; mais chaque terme de s^, est égal à l'unité, donc Sp=z n. Il en résulte

toutes les fois que a + (3 + y h n'est pas divisible par n;

car une pareille fonction s'exprime sous forme de sommes de termes tels que s^s^s,. . . ., qui sont nuls dès que les indices ne sont pas tous divisibles par n, et la somme des indices est égale à la somme des exposants de la fonction.

Application de la théorie des équations réciproques aux équations binômes.

68. L'applicalion de la théorie des équations réciproques l'équation binôme permet d'abaisser le degré de cette équa-

l'équation BINOME. fog

tion. Considérons l'équation

(0 xP=^,

OÙ p désigne un nombre premier; tous les cas où p n'est pas premier pouvant se ramener à celui-ci.

Soit/? = 2/1 + i; en divisant par x — i, on a

(2) x-"-\- x2rt-i| j;2«-2|__ ^ __i^f. |, = o ;

cette équation est réciproque et la substitution

conduit à une équation de degré n

Cette équation a toutes ses racines réelles; en effet, on a

( 4 ) x'^ — xr -\- i =0;

il en résulte que, à une valeur de / correspondent deux valeurs de ce dont la somme est j et le produit i. Deux racines jouissant de cette propriété sont données par les formules

Xi =

cos

2Pi-

-f- i sin