COS

2/JiTr

en sorte que (5)

Les racines de l'équation (3) sont donc les n valeurs différentes de 2 cos ^^^' que l'on obtient en posant

pi= 1,2, . . ., //.

Dans cette expression, les arcs sont des multiples de la (2/1 -h i)'^'"*' partie de la circonférence; ces arcs peuvent être construits à l'aide de lignes droites et d'arcs de cercle, si

leurs cosinus peuvent s'obtenir par des extractions de racines carrées. On voit ainsi que le problème, qui a pour but de partager la circonférence en p parties égales au moyen d'arcs de cercle et de lignes droites, revient à résoudre l'équation

au moyen d'extractions de racines carrées. Pour />:=5, l'équation en/ est du deuxième degré et le problème admet une solution. Pour /? = 7, l'équation en y est du troisième degré et ne peut être résolue au moyen de racines carrées. Plus loin, nous reprendrons cette question; pour le moment, nous nous bornerons à établir le théorème suivant :

G9. Si p est iiJi nombre premier, l'équation

xi> — I

est irréductible.

Si X est un polynôme entier à coefficients entiers, décomposable en facteurs A, B de degrés moindres, A et B pourront avoir leurs coefficients entiers. En effet, si l'on avait

l'identité