L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ

Impossibilité de résoudre cette équation algébriquement.

70. On a vu que la résolution de l'équation du troisième et du quatrième degré réussit, grâce à cette circonstance qu'il est possible de trouver une fonction des racines possédant moins de valeurs qu'une racine même, et qui, par conséquent, dépend d'une équation de degré moindre. Lagrange a montré que lorsque l'on essayait d'appliquer les méthodes qui réussissent pour le troisième et le quatrième degré à des équations de degré supérieur, l'équation auxiliaire était de degré supérieur à celui de la proposée. Il devenait ainsi probable que les équations générales de degré supérieur au quatrième ne pouvaient pas avoir de racines algébriquement exprimables en fonction des coefficients. Abel a montré qu'il en était réellement ainsi. Sa démonstration a été simplifiée par Galois. Nous allons exposer la démonstration de Galois en la modifiant dans la forme.

Si une équation générale du degré n pouvait être résolue à l'aide de radicaux, il en serait de même de l'équation

( -f- X^X., -+- XyX^ . . . ) X"--"^ . . . Zh X1X2, . . . X,i — O,

oii x^, x-i, . . ., x,^ sont arbitraires et indépendantes les unes des autres, x^, x^, ..., .r„ étant les racines de l'équation, la résolution doit conduire à ces valeurs. Toute racine que l'on aura besoin d'extraire devra pouvoir s'effectuer quand

l'équation du cinquième degré. ii3

on remplacera les coefficienls a,, a,, . . . par leurs valeurs en

Maintenant, supposons que la première racine à extraire soit

A ne contient pas de radicaux, c'est une fonction des coefficients de l'équation, et, par suite, une fonction symétrique de ^,, x-y, . . ., ^«. Mais y ne peut pas être une fonction symétrique rationnelle de ^i, jt^, . . ., x„, sans quoi il s'exprimerait rationnellement au moyen des coefficients; si / n'est pas symétrique, il contiendra deux racines ^i et ^2. qui> en se permutant, changeront la valeur de /; comme toutes les valeurs de j sont données par la formule

l'une des valeurs doit se déduire d'une autre en la multi-

pliant par une valeur a de i'' différente de l'unité. Si donc

/(^,, ^,> . . . ) est l'une des valeurs de j, on aura

/(^i,,r.2, .r3,.ri ,. . . , x^) = a/f.r^, Xi, Xi,Xf^, .... x,i).

Cette équation doit être identique, car j?i, ^2, ... sont indépendantes les unes des autres ; elle subsiste donc en permutant Xi et ^2; on obtient alors

f{x.2, Xi, X3, .ri, . . ., X/i) = '^fi^l, -^25 -3^3, -^45 • • •■ ^n)',

en multipliant cette équation par la précédente, on a

On peut toujours supposer que p est premier, car on peut toujours parvenir à un radical à indice quelconque par des extractions successives de racines à indices premiers; alors on doit avoir /•= 2, puisque dans ce cas seulement on peut avoir a:= — i. La première racine que l'on doit extraire est donc une racine carrée, y est une fonction rationnelle de ^r,, x^, . . . , x^ qui change de signe quand on échange ^1 et x^, ou même quand on échange deux racines quelconques, car P. 8

Il4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

on peut supposer, avant l'exlraclion de la racine carrée, que l'on ait mis dans A, à la place de Xi et a;,, deux racines quelconques.

y n'est pas symétrique, mais il jouit d'une propriété caractéristique; il reste invariable par une substitution circulaire effectuée entre un nombre impair de racines. Par exemple, quand on met j^j à la place de œ^, a;, à la place de x^, x^ à la place de ^i, cela revient en effet à faire un nombre pair d'écbanges entre deux racines, ce qui chaque fois produit un changement de signe, et ce qui finalement reproduit la valeur initiale.

Si l'on continue à combiner le radical avec des radicaux analogues et avec les coefficients, qui sont des fonctions symétriques des racines, puis avec de nouveaux radicaux, et ainsi de suite, deux cas peuvent se présenter : ou bien les nouvelles expressions présenteront ce caractère de rester inaltérées par toutes les permutations circulaires de 3 et 5 racines, ou bien on finira par être obligé d'extraire une racine, et le résultat obtenu ne présentera plus le caractère en question. Dans le premier cas, on finira par trouver

Xi=/(,ri,,r2,X3, ...,,r„),

ce qui doit être une identité, ce qui est absurde si l'on a plus de deux racines, une permutation circulaire de trois lettres altérant le premier membre sans altérer le second, d'après notre hypothèse.

Il faut donc nécessairement que l'on tombe sur un radical qui ne présente plus le caractère en question. Ainsi on parviendra à une expression

dans laquelle B reste inaltéré après une permutation circulaire quelconque de 3 ou 5 racines, cette propriété n'appartenant pas à z.

Supposons que z change de valeur quand on remplace Xy, X,, x^ par X., x^, Xy respectivement, les valeurs de z sont

l'équation du clnquième degré. ii5

racines de

entre deux valeurs de z, on aura une relation de la forme

qui doit être identique; elle doit donc subsister quand on y permute les trois racines. On a donc

/(,r2, X3. xi^xi,, .... x„ ) = 0Lf(x3, X, , X.J ,x,,, . . . , ,r„ ),

/(•-fa, -2^1, •^■2, -2^4, • • • , -^n) = ^/(••f'i, "l'2, •«"3, "^'i, • • • , -^'/i )

et en multipliant les trois équations, membre à membre, on a

Si donc il y a trois ou un plus grand nombre de racines, on doit rencontrer un radical cubique.

Désignons par

~, y.z, oL-z

les trois valeurs de ce radical, on a

Supposons qu'il y a plus de quatre racines; une permutation circulaire de cinq lettres n'altère pas B. Par cette permutation, pour que l'équation ne cbange pas, z doit se changer en az ou en u^z; si z change par cette permutation, on montrera comme tout à l'heure que

ce qui est impossible, puisque a est une valeur imaginaire

de i^

Alors z doit rester invariable par la permutation circulaire de cinq lettres : c'est la seule hypothèse qui nous reste à faire, en supposant qu'une substitution circulaire de trois racines le multiplie par a ou a-.

Or, une permutation circulaire de trois quantités peut s'ob-

Il6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. IV. — l'ÉQLATION DU 5® DEGRÉ.

tenir en exécutant deux permutations de cinq d'entre elles. Ainsi une permutation circulaire de

peut s'obtenir en exécutant, par exemple, une substitution circulaire entre

"^oî •^*4î ^Z-} "^ 1 î '^'2?

puis entre

Xi, JTj, ,r3, .r^^, ,^5 ;

comme z doit rester invariable après une permutation de cinq lettres, elle doit aussi rester invariable après une permutation de trois lettres; ceci étant en contradiction avec nos hypothèses, il est prouvé que l'équation générale d'un degré supérieur au quatrième ne peut être résolue algébriquement (').

(') Par ce mot algébriquement, il faut entendre que l'équation ne peut pas être résolue au moyen d'extraction de racines et des autres opérations algébriques. Abel et Galois ont aussi examiné la possibilité d'exprimer x, au moyen de formules algébriques ne se réduisant pas identiquement à a-,.