Soit

l'équation générale du degré n sans racines égales. Soient

J-,, .r,, .... x,i ses racines; soit

une fonction rationnelle déterminée de p racines et

?l! ?2, .-., Cf/-

Il8 DEUXIÈME PAUTIE. — CHAPITRE V.

les valeurs algébriques que l'on obtient en permutant dans cp toutes les racines de l'équation. Désignons par

Jl, J-2, ..., Jq

les valeurs numériques de celles d'entre elles où l'une des racines, x^, par exemple, est restée à sa place. Les diverses valeurs de o sont déterminées par une équation à coefficients rationnels. Soit /i une racine de cette équation et soit oc son degré de multiplicité, alors

n = 9i = cp2=...= Ça;

considérons l'équation

(3) (/ -)\)iy-]\)- ■ -{y -jcj) = o;

ses coefficients sont des fonctions symétriques des racines de

et peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de Xy et des quantités connues; et (3) pourra se mettre sous la forme

Puisque j, est racine de cette équation, on a

(5) F(/„,r,) = o; ce qui montre que x^ est racine de

cette dernière a donc une racine commune avec la proposée. Voyons si ces équations peuvent avoir d'autres racines communes, par exemple x,n. Pour cela il faut que

F(ri,.r„0 = o, ce qui exprime que /i est racine de F(j, .r;„) recette équation se déduit de (4) en changeant^i en ;r,„, ou, ce qui revient au même, elle s'obtient en faisant le même