DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC. I

changement dans (3) qui est identique à (4). Parcechangement/i, /a- • • se changent dans des valeurs de 9, de sorte que la condition pour que ^,„ soit une racine commune consiste en ce qu'il existe une valeur 9/,. de cp, dans laquelle j:„j remplace ^1 et pour laquelle

71 = ta;

cette dernière équation est satisfaite pour

donc les deux équations

(7) /(•>p) = o, F(ji,^) = o

ont pour racines communes toutes celles qui peuvent prendre la place de Xx dans

(8) 'fi, ^2' •■•5 ?a-

On peut tirer diverses conséquences de ce théorème qui a été donné sous une forme un peu moins générale par Lagrange et par Galois.

73. Dans le cas où l'équation en 9 n'a pas de racines égales on a seulement

ji = oi ;

si donc 9 est dissymétrique et d'une forme telle qu'aucune racine ne puisse prendre la place de x^ sans que la valeur algébrique de 9 change, x^ reste alors la seule racine commune aux deux équations; elle peut alors s'exprimer rationnellement au moyen de y^ et des quantités connues. En particulier, cela aura lieu pour toutes les racines de l'équation si

J= 9(.ri,.r2, ...,.r„)

prend des valeurs toutes différentes pour les n\ permutations des racines. C'est la forme donnée par Galois au théorème qui nous occupe.

Si 9 est symétrique ou présente une symétrie partielle, toutes les racines qui peuvent prendre la place de x^, sans changer la forme algébrique de 91, sont racines communes

aux deux équations. Considérons en particulier le cas où toutes les p racines peuvent être échangées dans o,, les deux équations ont/» racines communes et, par la méthode du plus grand commun diviseur, on peut former une équation qui détermine ces racines communes, ou le facteur du p^^"^^ degré correspondant de f{x).

La forme la plus générale d'un facteur du p^''^" degré de f{x) est alors

(9) ■^''+ ?i(.ri)'^'^-^+ ?2(ri)^/^-2. . .-^ '^p{y,). ■ .,

où 9i, 92? •••>?? sont des fonctions rationnelles de /i et des quantités connues, /i désignant la valeur d'une fonction symétrique de/» racines qui est déterminée par une équation dont toutes les racines sont simples. On peut ainsi dans ce cas exprimer toutes les fonctions symétriques des/? racines en fonction d'une d'entre elles et des quantités connues.

Exemple I. — Pour l'équation

si l'on donne

on posera

Ji = -^^ï -+- A , Xi = x\ + xl

et l'on obtiendra, en éliminant x^ et x-„

j^- — {x\ + i4)j+ i4.i1 + 7^ =o; ou, en remplaçant x^ par ^ et / par 5,

équation qui a avec la proposée les racines de

Exemple II. — Trouver la forme générale des diviseurs du second degré de

f{x) =: x^-\- ax-->r bx-\-c