DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC

en fonction du produit j de deux racines de /(.r) =r o

Xi-i-X3= — a — xi ; ainsi

J-2 -+- {Xl -+- OXi ) J XiC = O,

d'où la forme cherchée

x^ -^ X -hr.

7i. L'équation en o qui a ni racines inégaies et dont nous avons fait usage plus haut appartient à une classe remarquable d'équations dont nous allons nous occuper. Elles ont cette propriété que chaque racine peut s'exprimer rationnellement en fonction de chacune des autres. En effet, chaque racine est fonction rationnelle de ^j, œ^^, . . ., x^, qui, à leur tour, sont fonctions rationnelles d'une des valeurs de 9.

On peut utiliser cette propriété pour exprimer autant d'irrationnelles que l'on veut rationnellement, au moyen d'une même irrationnelle, en appelant irrationnelle une racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels; peu importe d'ailleurs que l'on puisse ou non exprimer cette irrationnelle au moyen de radicaux.

En effet, soient cr,, x.^, ...,Xp des irrationnelles, déterminées par diverses équations algébriques dont elles sont racines. On peut toujours (par exemple au moyen d'une simple multiplication) former une équation dont ces quantités soient racines; si l'on considère une fonction des racines de cette équation dont toutes les valeurs, obtenues en permutant les racines, soient distinctes, les racines de cette équation et les irrationnelles données seront exprimables rationnellement au moyen de celte fonction. On peut, par exemple, prendre cette fonction égale à

en supposant l'équation auxiliaire de degré n. 11 est évident que l'on peut choisir les coefficients «j, «2, ...,a„

puisque a-^, œ^, ... sont différents, de telle sorte que toutes les valeurs de y soient distinctes.

75. Supposons toujours l'équation donnée de degré n et les ni valeurs de cp distinctes, l'équation en tp pourra être réductible; dans ce cas, supposons-la décomposée en équations irréductibles; soient

les racines de l'une d'elles. On peut, comme on l'a vu, exprimer chaque racine de l'équation donnée en fonction rationnelle d'une valeur de 9, en sorte que les racines pourront être représentées par

Si dans cette suite on remplace o^ par un autre terme de la série (11), la nouvelle suite représentera encore les racines de l'équation donnée, mais dans un autre ordre.

Pour trouver l'une des racines, x^, par exemple, posons

si dans 91 on intervertit l'ordre des racines, on peut transformer un autre terme de (n) ; le calcul, dans les deux cas, sera le même, à l'ordre près des racines, et si l'on a

on aura

Xp désignant la racine échangée avec œ^, quand 0,, remplace cpi. Les nouvelles valeurs sont distinctes; car si l'on avait, par exemple,

(ifp serait une racine commune à ^\(cp) — 1''2(9) = 0 et à l'équation irréductible qui a pour racines les quantités (11). On devrait donc aussi avoir W, ( 91 ) — W, ( 91 ) = o ( 13 ), ce qui est absurde puisque les quantités (lâ) sont distinctes.