CHAPITRE V. — DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES, ETC

Nous verrons plus loin que ce théorème est fondamental dans les applications de la théorie des substitutions à la théorie des équations.

76. Des développements qui précèdent, il résulte que dans le cas où f{x) a des facteurs rationnels, il est toujours possible de les trouver. Par exemple, si/(j7) possède un facteur rationnel de degré p, il devra exister p racines de /(^)=o dont le produit est rationnel. On peut trouver ce produit y en formant l'équation qui a pour racines les produits de p racines de la proposée, cette équation a alors une racine rationnelle; appelons-la k. On aura

.riXo. . .Xp = /i,

et les coefficients du facteur rationnel peuvent être exprimés en fonctions rationnelles de k. Si l'équation en y avait des racines égales, on pourrait partir d'une autre fonction symétrique des racines, par exemple

où l'on peut toujours choisir a de telle sorte que l'équation en / n'ait pas de racines égales, si la proposée elle-même n'en a pas. Comme k est facteur du dernier terme de l'équation, on peut, quand il n'a pas un grand nombre de facteurs, au moyen de tâtonnements, simplifier la recherche de l'équation qui donne k.

Quand k est rationnel, il existe un facteur rationnel, pourvu que k ne soit pas racine multiple; en effet, si k était racine multiple, il n'existe pas nécessairement un facteur rationnel de degré/», car les équations (7), dans ce cas, peuvent avoir un facteur commun de degré plus élevé. Nous reviendrons sur ce cas un peu plus tard; nous nous bornerons à observer ici que si une équation est réductible, il est toujours possible de la décomposer en d'autres irréductibles.

ÉQUATIONS ABÉLIENNES.

Équations dans lesquelles une racine peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une autre.

77. Gauss a montré que les équations qui servent à partager la circonférence en parties égales sont résolubles algébriquement; ces équations sont comprises dans une classe d'équations, étudiées plus tard par Abel et qui portent le nom à'équaLions abéliennes; ce sont des équations dans lesquelles une racine peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une autre. Les équations réciproques et les équations du 3« degré, par exemple, appartiennent à cette classe (Exercice 5i). Les équations abéliennes peuvent toujours être abaissées et souvent même résolues algébriquement.

Nous supposerons que, dans l'équation irréductible de degré n,

(1) /(■r) = o, on ait entre deux racines la relation

(2) .r, = fJ(.r.),

où Q désigne une fonction rationnelle.

Si l'on forme l'équation en/ qui a pour racines

(3) Ji = e(,ri), j.2 = e(,r,), ..., r„=0(.r,),

on obtient une équation qui a une racine commune avec la proposée et, comme celle-ci est irréductible, les deux équa-

ÉQUATIONS ABÉLIENXES. 125

lions en ^ et en j étant de même degré doivent avoir les mêmes racines. II en résuite que, si l'on exécute l'opération 9 sur une racine quelconque, on doit en trouver une autre; si l'on opère sur celle-ci comme sur la première on en trouve une troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on retombe sur une racine déjà obtenue. Un groupe de racines, par exemple trois, sera donc lié par des équations telles que