ri = OfjTa), •^3= Oi;.r

si l'on désigne alors 5[9(a:)] par9"'(.37), etc., ces équations donnent

(5) ,r,^On.r,);

cette équation ne saurait être identique si l'on suppose à 01a forme entière, ce qui est possible (26), et si l'on exclut le cas où Q serait linéaire; cette équation x — Q^{x) = o a une racine Xi commune avec f{a;) = o, elle admet donc toutes les racines de cette équation. Si en dehors des racines Xi, x^, x^ on prend une racine x,^, celle-ci doit donc former un groupe avec deux autres racines; dans ce groupe il ne peut entrer plus de trois racines, car l'équation ^4=:9*(^J montre qu'après avoir effectué trois fois l'opération B on doit retrouver x.^\ il ne peut pas entrer moins de trois racines dans le groupe, car si l'on avait x^-=^ 0"{x,,) on aurait aussi Xi:= Q^{xi) et le premier groupe ne contiendrait que deux racines, La même racine ne peut entrer dans deux groupes différents, car si le second groupe contenait jt^, x^ et Xi on aurait

et.z-3 = ^5, ce qui est absurde, l'équation proposée n'ayant pas de racines égales.

On voit ainsi que les racines se partagent en groupes contenant le même nombre de racines, et si n est premier, il n'y aura quun groupe. Si n est un nombre composé il doit être divisible par le nombre des racines de chaque groupe.

Si, par exetnple, on a m groupes de p racines, n = mp. L'équation peut alors se résoudre à l'aide d'une équation dé degré p dont les coefficients dépendent d'une équation de degré m.

Si, pour plus de simplicité, nous supposons p toujours égal à 3, on peut poser

( 6 ) ji = a:i + .r, + .rj = 02 (.rj ) -i- fj (.rj ) 4- X3,

si l'on remplace x^ par toutes les racines de l'équation proposée, on obtiendra 3/?i valeurs pour /j. Ces valeurs sont égales trois à trois; ainsi

02 ( .r, ) + 0 ( .ro ) + x^ = x^ -i- J^i + .r., . 0 2 (.r, ) -i- 0 ( .ri ) -f- x^ = x-i -f- .7-3 -+- xi ;

y n'a ainsi que m valeurs et sera fourni par une équation de degré m à coefficients rationnels, que l'on obtiendra par la théorie des fonctions symétriques ou en éliminant x entre

(7) f{Jo)^o et j = .r-f-0(.r)H-fj2(,r); la résultante

(8) ?0) = o du degré m a pour racines

\ 1-2 = .r4-)-.r5-i-.rf,.

' J'/«= -1^1)1 — %-+- -^'Sm — l -T~ •"-'iin ■

dans le cas où ces racines sont inégales, on peut trouver la forme générale d'un diviseur du 3'' degré de/(^)

,r^-y,,.v^-^W,{r,,)x-^W,{jp)\

si l'on remplace jp successivement par ji, y-2, ••■fj'm, on obtient les /n facteurs du 3" degré def{x); de telle sorte que l'équation donnée du degré 3/?i est réduite aux équations

\ x^ —j-x'- -h- Ti (7 ) X + ^'2 0' ) = o,

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. I27

la première est du troisième degré et la seconde du /??î«™<= degré. Les mêmes considérations sont applicables au cas où le groupe contiendrait, au lieu de trois, un nombre quelconque de racines.

L'équation 9(7) = 0 ne donne pas lieu à l'examen de cas particuliers : elle peut être quelconque ; l'autre est encore une équation abélienne, car ses racines forment encore un groupe doué des propriétés considérées plus haut. Nous verrons plus loin qu'elle est toujours résoluble algébriquement.

78. 9(/)==o peut avoir des racines égales; alors on peut partir de la fonction

(il) j, = (a-xi)(a — ,r,)(a— .r3) = [a-Û-^(.r3)][a-0(^-3)](a-.r3X

où a peut être choisi de telle sorte que deux valeurs de 7, ne puissent être égales. Si l'on avait, en efTel, pour toute valeur de a, j'i = J2 pai' exemple, ou

(x — Xi){a — .r,){a — X3) = (7. — ./•.J(a- Xs)(a — .re),

les trois racines du premier groupe seraient égales à celles du second, et l'équation donnée serait réductible.

Le résultat de cette discussion est donc que ;

Si p des racines d'une équation irréductible peuvent se mettre sous la j orme x^, Q{xy)y 0-(^,), . . ., 0^-*(^i), où 9 est tel que Op{Xj)^=zxi, cette équation est de degré mp et elle peut, à l'aide d'une équation de degré m, être réduite à une autre de degré p.

Équations abéliennes dont les racines forment un groupe.