Il reste à étudier l'équation du degré n (0 /(■'^) = o
dont les racines peuvent être mises sous la forme
(2) ^1, e(^i), On^i), ..., 0«-i(.r,),
OÙ ^1 désigne une racine quelconque et où
Désignons par a une racine quelconque de
(4) ^" = i; l'expression
(5) W(.ri) = [.r,4-aO(.ri)-i-a2 62(,r,)-+-... + a«-iO"-i(.r,)]'S
où a. est considéré comme connu, n'a qu'une seule valeur et, par suite, peut s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients de l'équation donnée des coefficients de 0etde a. Si l'on prend, au lieu de a,, une autre racine, par exemple j:-3= 9'2(j?,), on a
XF(,r3 ) = [62 (.ri ) -h cc(P { .r, ) -4- a'^ 0'* (,ri )-!-...+ a^-' 6 (,r, )]«,
OÙ la quantité entre crochets se déduit de celle qui est analogue dans (5) en la multipliant par a"--. Comme a'^^i, les deux expressions de W(^i) et de ^(j^g) sont égales. On voit ainsi que
(6) Wi.r^)=W(.r,)=...= W{.r,).
On peut poser
(7) W(x,)='^[W{xO-i-'Vi.r,)^... + W{Xn)]
et calculer W comme une fonction symétrique. Elle contient a et, par suite, possède une valeur pour chaque valeur de a. Si l'on appelle v,. la valeur de W qui correspond à la valeur a,, de (X, on ohtient n équations de la forme]
(8) .r + a,.0(.f) + ocf. 02(.r)-i-. . .+ a;?-i 0"-i(,r) = 7~-
La valeur correspondant à oc,.= i de 'sf-j,- est connue, car on connaît la somme des racines, elle est — A, si A est le coefficient de ^"-'. Si l'on ajoute les n équations (8), et si l'on observe que
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. I 29
pour toutes les valeurs de p non divisibles par n, on trouve, en supposant «0=^ i>
Si l'on multiplie chaque équation par a~'" avant de les ajouter, tous les termes du premier membre s'annulent, excepté B"^{x), et l'on obtient une quelconque des racines par la formule
Dans cette expression, on peut prendre un des radicaux, avec une quelconque de ses valeurs, mais alors les valeurs des autres doivent s'en déduire. Par exemple si, dans l'expression de uj, a désigne une racine primitive de l'unité, les autres valeurs de a seront ses puissances ap=a^, et l'on a
i y^i = X -^ a.^{x) -^a2 02(a-) -l-...-T-a«-ie«-i(x), \ y~p= x — xi>%{x)^ar-Pf)'^{x)-^. . .-T-a(«-i)/^0'»-i(a:);
si l'on change, dans ces deux équations, œ en 9"'{x), la première se trouve multipliée par a-'", la seconde par a-p'". Le produit
(12) 0ix) = {V^,)"-^V^p
se trouve alors multiplié par
cc-min-p) a- mp = i^-mn — j j
il se trouve donc inaltéré quand on y permute deux valeurs de ^; 9(x) est donc une fonction rationnelle qui peut être calculée comme plus haut ^'(^). Si Ton désigne sa valeur par ttp, on a
(i3) 'v/^=^('ra'^-
Tous les radicaux qui entrent dans la valeur de x peuvent donc s'exprimer rationnellement en fonction de l'un d'entre P- 9
l3o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
eux; si l'on remplace ces radicaux parleurs valeurs dans (9), on obtient pour x une expression qui n'a que n valeurs correspondant aux valeurs de '{j-o^,. a entre dans le résultat, et nous verrons plus loin qu'on peut l'exprimer algébriquement. On voit ainsi qu'^we équation dont les racines peuvent être représentées par x., Q{x), 6^{x), . . ., 0"—''-{x), où d'^{x) = x, est résoluble algébriquement.
Comme cela a toujours lieu quand n est premier, dès qu'une racine est fonction rationnelle d'une autre, une équation de degré premier dont une racine est fonction rationnelle d'une autre, et qui est irréductible, est résoluble algébriquement.
Dans le cas où les fonctions /et 0 sont à coefficients réels, a sera la seule imaginaire contenue dans Ui et, comme les valeurs de a sont conjuguées deux à deux, à savoir a'^ et a"--'-', il doit en être de même pour les valeurs de u ; ainsi
( ui r=: p(cosw -I- i sinœ), ( u„i=p(cosa) — isinio),
(i5) p2= u,u„i = rt;j,.
Comme a„i= y^ui '(/u„i quand on échange et. et a"^-^ reste inaltéré et ne contient d'autre imaginaire que a, il doit être réel. On a donc
(16) Vui == v^^Wcos-^— ^^ hisin-^— ^^ Y
oià a désigne la valeur numérique de a„i ; il en résulte
(,7) ;^^ = ^ y/;^- Fcos
'^ r- 1 sin
De sorte que les racines ne dépendent que de quantités rationnelles, d'une racine carrée, du sinus et du cosinus de la ,jième partie de la circonférence, et de la même partie d'un angle &j dont la tangente est fonction rationnelle du sinus et du cosinus de ce même angle oj.
Comme 0 est réel, on voit immédiatement que les racines
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l3l
sont toutes réelles ou toutes imaginaires, car si l'une est réelle, les autres le sont aussi.
Examen du cas où le degré de l'équation n'est pas un nombre premier.
80. La méthode que nous avons fait connaître pour la résolution des équations abéliennes dont les racines forment un groupe, est tout à fait générale ; mais, quand le degré n'est pas un nombre premier, la solution peut être simplifiée.
Soit n = pm; on peut répartir les racines en groupes de p racines, à savoir :
( e'"-l(,r), e2'«-J(x), ..., Ql>'n-l(x),
et l'on pose alors
les racines placées sur la première ligne seront
(3) .r, 0,(j:), ef(a:). ..., O^H-ï),
ou
<4) QP{x) = %'np(j:) = X.
On peut donc, d'après ce que l'on a vu (77), réduire l'équation, à l'aide d'une équation de degré m, à une autre de degré/?. L'équation de degré/» a la même propriété que la proposée; cela n'a pas lieu pour l'équation de degré m dans le cas traité (77) et (78). Mais on peut montrer que, ici, où toutes les racines forment un groupe, les deux équations auxquelles se réduisent la proposée jouissent de la même propriété.
L'équation du degré m en / est constituée de telle sorte que l'une de ses racines est fonction symétrique des/j racines
iSa DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
du premier groupe; les autres dépendent de la même façon des racines des autres groupes.
Soit maintenant ji la racine qui peut s'exprimer au moyen de
(5) X, %'»{x), %'-"\x), ..., 0'/'-i)'«(x), soit /2 celle qui peut s'exprimer au moyen de
(6) e(jc), 0'«+i(^), ..., 0(P"i' '«+'(,/;),
les coefficients de l'équation qui a pour racines les quantités (5) sont fonctions rationnelles de jj, et toutes les fonctions symétriques des racines peuvent s'exprimer rationnellement en /i; ja est une fonction symétrique de
e(x), eO'"(.r), eo2'"(.r), ...,
et, par conséquent, aussi des racines (5); y, peut donc s'exprimer rationnellement en y,, de sorte que l'équation en r jouit de la même propriété que la proposée.
Si m et /o sont des nombres composés, on peut continuer de la même façon, et toute équation abélienne dont les racines forment un groupe peut être ramenée à des équations abéliennes de degré premier.
Sur les équations irréductibles dont deux racines sont liées par la relation
(i) XiX^-^-aX'^-^bx^-^ c = o.
81. Nous supposerons que a, b el c sont des fonctions rationnelles de quantités dont les coefficients de l'équation sont eux-mêmes des fonctions rationnelles. Si l'on change dans l'équation oc en x -\- h, h étant déterminé par l'équation
(2) //2+ (rt + è)//-4-C = O,
deux racines seront liées par la relation
(3) XiX^-^ {h -\- a)xi-\- {h -+- b)X'i = o\
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l33
si l'on chan2:e ensuite a: en -, on obtient entre deux racines la nouvelle relation
(4) i-h {// -r- a)j:2-\- {/i -h b)xi — o; si enfin on change ^ en ^ + A, ou
(5) (■2/1 -r-b -{-a)/ii-hi = o,
on obtient une équation dans laquelle deux racines sont liées par la relation
,rs ' /i -^ a
(6) .rj = a.r.,, ou a = — -, ,- •
Maintenant supposons que l'équation donnée continue à être irréductible, même lorsque l'on regarde h comme une quantité connue, bien qu'il soit donné par une équation du second degré, quantité pouvant être utilisée dans la décomposition en facteurs; dans ce cas, l'équation finale doit être considérée comme irréductible; car, si elle pouvait se décomposer en plusieurs autres, il suffirait, pour décomposer l'équation primitive, de revenir aux inconnues primitives. Un groupe de racines sera donné par les relations
( 7 ) .ri = a X2 , jTo ~ 3C j:-3 , . . . , ^p = aj^i ,
qui montrent que a est racine primitive de
De
on tire
<io) // = ;
et alors, en remplaçant h par cette valeur dans (2), on a
{\ 1) cL-(ab — c) -h (a'^-f- b"^ — ■2c)ix-h ab — c = o.
L'une des racines de cette équation est l'imaginaire conju-
l34 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
guée de a, car le produit des racines est un; soient
cos'j -;- isin-j
et
COS'J — /siii'j
ces racines; on a
rt-'-H//2— 2C (a — bY
