COS- - — P

011 /x est premier avec p, puisque a est une racine primitive. On voit qu'un groupe de p racines de l'équation transformée peut être exprimé au moyen de l'une d'entre elles; si l'on désigne par /i cette racine, les p racines sont données^ par l'équation

et s'il y a m semblables groupes, on pourra mettre l'équation transformée sous la forme

(i3) {xi'-jP){.vP-j-P)...{xP-jP,) = o;

y'I, yl, . . ., y^;^ peuvent ainsi être considérés comme racines d'une équation quelconque du degré m. Soit

cette équation, l'équation en œ sera

et l'équation proposée doit être telle qu'on puisse la ramener à cette forme au moyen des transformations dont il a été question; on voit que p peut être supposé premier, sans diminuer la généralité de la solution.

82. Les équations, qui ont la forme générale que nous avons considérée, supposent que a puisse entrer dans la rela-

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l35

tion (i). Si celte relation ne contient que des quantités rationnelles.

doit être rationnel et le nombre premier p doit être égal à 2 ou à 3.

Si /) =r 2, la valeur de c est illusoire ; dans ce cas

ainsi

a = b, d'où la relation

(lO) .ri^To-r- rt(Xi-+-^2) -i- c = 0.

Si l'on pose

y — .i\-^ Xi,

on trouve l'équation en j en éliminant œ entre la proposée

et

.1-2 —yx — aj — c = o.

On reconnaît (jue l'équation appartient à cette classe, quand elle reste inaltérée en changeant a: en

Réciproquement on trouve toutes les équations du degré 2/1, qui appartiennent à cette classe, quand, dans l'équation générale du degré n en r, on pose

Pour/? = 3, on a

(18) c =ab-h{a — ùy, et la relation

(19) XiX^-h axi -r- bx^-V- ab ^ {a — b)- = o.

l36 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

Ces équations doivent rester inaltérées quand on change x

en

ax -T- a^ — ah -i- b'^

Elles se réduisent à la forme

x'^ =j-, ofi

( 9, l ) x' = -7 H -, T J X = Il

' X — Il ih -^ a -^ b (zh -i- a-h b)x — i

et

/ ft -^ b , a — b I — - , , ,

( •}.'}. ) h — ± sJ — 0 — — a — (a — ^ ) ^•

On peut facilement exprimer les coefficients de l'équation du troisième degré au moyen de l'un d'entre eux; si l'on pose

.Ti + x-i + .Ts = — J ; xx .r, + ,ri x^ -+- .r, .rj = a, ;

,ri,r2-^3 = — «3, on lire de

.ri x^ -y- axi -f- bx^ + «^ — ab -h b^ = o,

x^Xg-h- ax-i— bx,i-^ a"^ — ab -^ b- = o, X3 Xi H- axz -f- bxi -f- a^ — ab -t- /;2 = o ,

en les ajoutant,

et en les ajoutant, après les avoir multipliées par x^, .Ti et a-,,

— 3a3-i- (a -i- b)a2—j(a^-— ab -h b'i) = o;

d'où l'on déduit l'équation

(23) ./;3 -hrx^' -+- [(a -f- 6 )/ — 3 («2 r/Z* -4- b'-)] x -^ aby — (a^ + b^) = o.

En éliminant/ entre cette équation et

où r(j) =0 est une équation irréductible arbitraire, on obtient une équation de l'espèce cherchée.

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 187

Exemple :

.r^ -7- .r- — 2 jr — I = o ;

celte équation reste inaltérée quand on change ^ en ;

on a alors

.ri .ro -^ .ri -H I = o ; ainsi

1 I -f- T. Ot

l'équation réduite est

83. Nous avons supposé que l'équation donnée reste irréductible quand la racine carrée qui entre dans h est censée connue; soit k cette racine, il peut arriver que l'équation se décompose en deux autres

et

et alors il est clair que dans ce cas la relation (i) détermine ^2 comme racine d'une de ces deux équations quand x^ est pris pour une autre racine.

L'équation transformée se laisse décomposer aussi en deux autres et chacune des racines de celles-ci xi, est déterminée en fonction d'une autre racine Xi au moyen d'une relation de la forme

Xk = axi;

on arrive donc à la même détermination de a que dans le cas général, de sorte que l'on peut énoncer le théorème suivant :

Si deux racines d'une équation irréductible du /i'«'"<" degré sont liées par la relation (i), l'équation peut être résolue au moyen d'une équation du second degré à l'aide d' une équation de desrré -. dans le cas où a ^ b: dans le cas contraire, on peut la ramener à une équation du troisième degré, à

l38 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

Vaide d'une équation de degré -; dans ce dernier cas on doit avoir c ^ a-— ah -^ b".

84. Lorsque deux racines d'une équation irréduclilDle, développées en fraction continue, finissent par avoir les mêmes (luotients complets, l'équation appartient à la classe d'équations que nous venons d'étudier. Si le quotient complet commun est désigné par q on a

/ r\ d-^-diq f^fiq

( -25 ) JTi = -^- , X, — ^^-^ ,

d d\ , , 1 . > ... , f il r .

-et — étant les dernières réduites de a:, et -j — étant les

(^ ei g gi

dernières réduites de a;^ que l'on obtient quand on fait usage des parties différentes des fractions continues. Si l'on élimine ^ on a

(26) (egi —gei)xi X.2 -1- {eif— e/i ) .rj -h (d^g — dgi).ro -h dfi—dj=^ o ; on a identiquement

,^^x \ {eif~efi){dig-dgi)-\-{dei — edi)(fgi — gfi) ■'' i , =(egi-ger){dj\-fd,\

OÙ, comme l'on sait,

rZei — dei = ± i ,

Pour p =-2, (« = b), et si l'on pose

egi — gei = X, e,/— cj\ = dig —gid= a,

(27) donne

df\-dj='^,

où 1 est un diviseur de a-±i; la forme générale d'une équation aux racines ^1 et a:<, est donc

(29) X^ — Xf-

ay a- nr

où a désigne un entier quelconque, 1 un diviseur de a^± i

ÉQUATIONS ABÉLIENXES. iSg

et / une racine d'une équation arbitraire. Pour p:=o en posant

eif—fei = a, d^ g — g, d = b, et dj\ —fdi = c,

(27) donne

ab ± \ = X c et l'on a (18)

\c = a'^ — ab -+- b- ;

il en résulte

de sorte que l'on doit faire usage du signe -h ; on a donc h = « ±: I ,

La forme la plus générale d'une équation du troisième degré aux racines ^i et Xj est donc

X^ -r-JX^ -1- «2 -^ -^ «3 = O,

où (3o) \ -lazti 3(«2±rt-+-i),

ai-

a est un entier arbitraire et >. un diviseur de a-±i a

Résolution algébrique des équations binômes.

85. On a montré que la résolution de l'équation binôme se ramenait à la résolution d'équations de la forme

oij p désigne un nombre premier; les racines de cette équation ont été mises sous forme trigonométrique, et nous allons montrer maintenant comment on peut les mettre sous forme

l4o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

algébrique. La somme de deux racines de l'équation (i) étant

égale à 2cos — , la circonférence pourra être partagée en

p parties égales au moyen de la règle et du compas, si l'équation en question peut être résolue au moyen seulement de racines carrées.

Si l'on divise par j? — i, on obtient l'équation irréductible

( 2 ) ,r/'-i -4- xP-- -h . . . -1- ,r2 H- ,r -M = o.

Les racines de cette équation peuvent être représentées au moyen de l'une d'elles a par les expressions

OÙ /• est une racine primitive de la congruence

(4) .rP-i — lEso (mod/?),

c'est-à-dire un nombre tel que /-^ — i ne peut être divisible par/? pour A </; — i. Il est facile de voir que tous les termes de la suite (2) sont différents.

Soit 8 une racine arbitraire (i excepté) de

xP-^^i = o.

Nous aurons à considérer dans la suite le produit de

(16) ' par

les termes en [3" sont

Si l'on pose a, + «'"-% a, sera racine de (i) et l'on aur

ÉQUATIONS ABÉLIEXNES. l4l

pour expression de la quantité entre parenthèses

Si ai n'est pas égal à i, ceci représente la somme des racines de l'équation (2), c'est-à-dire — i. Si, au contraire, a, = I , cette somme est égale à /> — i ; c'est ce qui a lieu si

/•«-f-i = o (mod p), d'où l'on tire

le produit cherché sera alors

et comme

on aura

(7) \,\,=pf^=±p,

car ,3 ^ est égal à i ou à — i .

Dans le premier cas, on peut réunir dans les deux facteurs V, et V2 les termes éloignés l'un de l'autre de ■^-— rangs; deux semblables termes sont

P -1 p divisant /• - +1, /? divise

et ne divise pas le premier facteur; la somme de nos deux

t/42 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

termes est alors

ou si, par exemple,

a — cos — ■ -h i sin — P P

et si l'on pose

2Tr

on a

Si l'on désigne alors par y une racine de

et si l'on fait/» =: 2[x + i, on aura (9) 4ViV, = p,

où

Vi = cos a -H YC0S7-rt -h. . .-f- yt^"' cosr!-'--'(7,

V2= cosrt-i- Y~* C0S7-rt -+-. . .-h y-'S^-i' cosrV--^a. 86. Si l'on pose

les racines de l'équation donnée (2) pourront se mettre sous la forme

où 0^-^(^)=r^; cette équation appartient donc à la classe des équations étudiées (79), et les racines sont des sommes de termes de la forme

V désignant une fonction rationnelle des coefficients et de (3. a peut donc s'exprimer au moyen de radicaux, si la même chose a lieu pour [3; comme le calcul de [3 dépend à son tour de la résolution d'équations binômes dont les degrés sont des nombres premiers inférieurs à p, on finit, par des réductions successives, par tomber sur des équations que l'on peut ré-

ÉQUATIONS ABÉLIENXES. l43

soudre et, par suite, la proposée est résoluble au moyen de radicaux.

Les termes de a sont conjugués deux à deux; par exemple

V/ui et \l-^n-\

sont conjugués, etc. Ces deux radicaux sont V, et V, dont le produit est ±p. Leur module est \]p. Les arguments s'obtiennent en divisant, par les facteurs premiers de /j — i, un angle que l'on peut construire. Si le nombre premier p est de la forme

p — I ne contiendra pas d'autres facteurs premiers que 2, on pourra donc, dans ce cas, partager la circonférence en p parties égales, au moyen de cercles et de lignes droites, car on n'aura à construire que des expressions rationnelles, à partager des angles en deux parties égales et à construire la racine carrée de p.

87. Au lieu de traiter comme nous l'avons fait l'équation donnée, on peut la traiter comme une équation réciproque et la réduire à une autre de degré \i., celle-ci conserve le caractère d'équation abélienne. En effet, ses racines étant des sommes de racines conjuguées de l'équation binôme sont de la forme

(11) 2C0S«, 2 COS/*«, 2C0S7'-<7, ..., 2C0SA'H-~*rt,

et l'on sait que cos/« est fonction rationnelle de cosa. Si l'on fait pour cette équation le produit

on retrouve le produit (9) dont la valeur est/?.

C'est Gauss qui a résolu, pour la première fois, l'équation binôme; il a fait voir que la circonférence pouvait être partagée en /? = 1'^+ I parties égales quand p était premier, et

cela en partageant des angles en deux parties égales et en construisant sjp.

Plus tard, Abel a généralisé la méthode de Gauss.

Division de la circonférence en 17 parties égales.

88. La division de la circonférence en dix- sept parties égales dépend de l'équation

si on la divise par x — i et si l'on réduit l'équation réciproque ainsi obtenue, on obtient la transformée

Les racines de cette équation sont

■ikiz

.r = 2 cos j

L'équation (2) étant du degré 2^ pourra être résolue parla méthode développée (80), à l'aide de trois équations du second degré; mais nous préférons faire usage de l'équation primitive du 16" degré.

La plus petite racine primitive de j?^*^ = i (mod. 17) est 3; on prendra alors /■ := 3, et les racines seront

Posons

alors on a

Le produit /1J.2 est rationnel, car si l'on échange a avec une autre racine il ne change pas de valeur; car si l'on échangea

ÉQUATIONS ABÉLIEN.NES. 1^5

avec une racine du même groupe 7, et 72 ne changent pas; si l'on échange a avec une racine d'un autre groupe ji et j^ s'échangent entre eux. Comme le produit de deux racines est encore une racine, /ija est la somme de 64 racines parmi lesquelles ne se trouve pas l'unité, deux racines conjuguées se trouvant dans le même groupe; comme le produit est symétrique chaque racine y entre quatre fois. Enfin, comme la somme des racines est— i, on a

vi.r-2 =— i, et y, et j'2 sont racines de (5) ,2^,.^^o

Maintenant posons

(7) -l-+--2=Ji; -3-i--V=j2-

L'équation qui a pour racines les 8 termes de jj est du huitième degré; l'un de ses coefficients est — Vi et les autres sont fonctions rationnelles de celui-ci. ^^1:^2 doit donc pouvoir s'exprimer rationnellement en /,, car il n'est pas altéré quand on échange les racines contenues dans j, ; le produit en question a 16 termes qui sont tous racines; parmi ceux-ci se trouve a'" qui appartient à 72 et a* qui appartient à j, ; les autres termes de ji et Vo doivent donc se trouver aussi l)armi les 16 termes en question; on a donc

et, en remplaçant y. par y/-,

les z sont donc racines de

(8) :;2— ji; — t = o el ^'^—Jî-

Si l'on pose enfin

a -i- a-i = ti ,

comme tit^ est rationnel en l'i et ^,, il doit en être de même de 53, et l'on a, en effet,

Zl = z.2^2Z->^ i OU -2^3 = 3j — r,— Ji — 4:

/j et to sont donc racines de

On peut donner six expressions analogues à celles qui sont données pour t^ et t.,. Ces huit valeurs sont racines de l'équation réciproque du huitième degré à laquelle se ramène la proposée; ces valeurs sont

2C0S<7; 2C0S2<7; ...; acosSa,

Le côté du polygone de 34 côtés inscrit dans le cercle de rayon i a pour expression

■3. sin 7;-; = 2 cos — =2 cos î<7 ^4 '7

et se trouve parmi ces racines; on les construit facilement au moyen de cercles et de droites, à l'aide de trois équations du second degré, en construisant d'ahord/ et z. A.insi, on construit le polygone de 17 côtés et, enjoignant les sommets de deux en deux, celui de 34 côtés.

Réduction de l'équation ./'" = i.

89. Nous appliquerons encore notre méthode au cas où /> = t3; ici r = 2, et, en faisant ahstraction de la racine i, les autres sont

ÉQUATIONS ABÉr.IENNES. \ [q

Si l'on pose

}■, = a- H- x^-l- a*"' H- o'-^-h a-8 -H a-^, on a

j"i-^j2 = — i; .rij-2 = — 3,

el l'on a, pour calculer y, et j.,,

Posons

et, par suite,

r.i + G,-i-C3=J-i, 3(32-7- 3i;;3-f- 32-3 = — I, ^,30 33 = 2-I-J2 = 1— Ji;

a/.— les six valeurs de 2 cos -—-seront déterminées par les équations

./■/' — I Propriété de l'équation -; = o où p est premier.