Première méthode. — Soit l'équation

X"- -i- cil x"--^ + . . . — a,n .r"-'" — . . .— Op x"-i' . . , ± «„ = o,

où a,„ est le premier coefficient négatif et Up le plus grand coefficient négatif pris en valeur absolue. Pour ^>i, on a

X'^< ap{xn-"^-\-xn-m+'^ + ...+ \) = Clp ,

l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

donc aussi

Celle valeur de a; sera une limite supérieure des racines. On peut abaisser cette limite comme il suit. Posons

et appliquons la formule trouvée pour la limite supérieure à l'équation en y, on a

f <i^"{/aijj.i\ on aura

Comme a est un nombre positif arbitraire, on peut le choisir de manière à abaisser autant que possible la limite trouvée; cette valeur s'obtient en annulant la dérivée du second membre de (2), ce qui donne

p — m •' d'où

formule que l'on ne peut employer si mzzzp-, dans ce cas, (2) donne pour a = 00

On ne peut pas prendre ici pour ap le plus grand coefficient

SÉPARATION DES RACINKS. l6(J

négatif de l'équation donnée, parce qu'il ne donne pas nécessairement le plus grand coefficient de l'équation en j; on doit, pour ce motif, prendre la limite la plus élevée, que l'on obtient quand on prend pour ap tous les coefficients négatifs.

Exemple :

les limites sont

'• Vt' <V^' «VV- 'V"6^'

d'où il résulte que 5 est une limite supérieure des racines positives. La plus basse limite en nombres entiers est en réalité 4-

Si l'on change o^ en — ^ et si l'on cherche une limite supérieure des racines de l'équation transformée, on obtiendra une limite inférieure des racines négatives de l'équation proposée. On trouve ainsi

en sorte que les racines réelles de l'équation considérée sont comprises entre — 6 et -1- 5.

Si l'on change x en - j on trouve, en appliquant les méthodes précédentes, que - est compris entre deux limites — k et A'i, alors x ne peut pas être compris entre — -^ et ^;

la première de ces quantités est une limite supérieure des racines négatives, la seconde est une limite inférieure des racines positives.