Deuxième méthode. — On met l'équation sous la forme

oii o(^) désigne l'ensemble des termes précédant le pre-

170 TnOISIÈME PARTIE. — CllAPimE I.

mier terme négatif, — o,(^) l'ensemble des termes négatifs, 92 (^) l'ensemble des termes positifs restants. Dans la différence

o(x) — oi(,r)

substituons des nombres positifs croissants jusqu'à ce que nous trouvions un nombre k qui rende cette différence positive; A- sera une limite supérieure des racines positives. En effet, soit a:'" la puissance la moins élevée de a: dans o{3r), la différence précédente peut s'écrire

r cp ( .r ) Oi(.r)"|

Or -^-^ ne contenant que des coefficients et des exposants positifs sera croissant avec a-, '^\^l ne contenant que des exposants négatifs sera décroissant quand x croîtra. Une valeur de 37 supérieure à k rendra donc notre différence positive, el, par suite, /(^) positif. Aucune valeur de ^ supérieure à A ne pouvant annuler /(^), k sera une limite supérieure des racines.

Exemple. — Si, dans l'exemple ci-dessus, on change x en — ce, on obtient l'équation

œ^ -+- x~ -\- 5 x^ -^ 1 5 x^ — 47'^* — -^^ — 711X--T- 3i3j: -f- I = o. Si, après avoir divisé par ce-, l'on cherche à rendre positif

on voit que cela a lieu pour a:z=3. Cette méthode fournit donc — 3 comme limite supérieure des racines négatives, tandis que l'autre méthode donnait — 6.

La méthode précédente peut être généralisée en décomposant/(^) en plusieurs groupes de la forme (p{cc) — Oi{cc), où les coefficients de ^(^) et de ^i{^) sont positifs, tous les termes de 91 étant de degrés inférieurs à ceux de o{cc); une valeur de ce qui rendra positives toutes ces différences sera évidemment une limite supérieure des racines positives.

SÉPARATION DES TIACLNES. 17!