Méthode de Newton. — Si, dans les polynômes

on substitue des valeurs croissantes de a; jusqu'à ce cjue Von trouve un nombre k qui les rende tous positifs, k sera une limite supérieure des racines.

En effet, on a

/(A- + /o-/(A)+/'(/Oy+/"(/0-/^, +•••+/'",

d'où il résulte que/(A -j-/0 sera positif si h est positif et si A: a été déterminé comme il a été dit : k -{- h ne peut donc être racine si h est positif, donc k est une limite supérieure des racines.

Cette méthode est plus pénible que les précédentes, mais elle donne, en général, des limites plus resserrées. Toutefois, les limites peuvent encore être trop élevées, car cette méthode fait, en outre, connaître des limites supérieures des racines de/'(^) = 0, /"(x) = o, ..., et ces équations peuvent avoir des racines bien supérieures à celles de/(^)=:o.

Un exemple servira à jeter quelque lumière sur la pratique de cette méthode.

Exemple :

— io,r3

ïQ>x

[OX3-f-

-3ox2

lo.r^H- 3ox^

iox'^-i-iox

On commence par en bas, a;r=o rend/"" positif, toute va-

leur supérieure rend f^ positif, et l'on en a fini avec celte fonction, .2?= i rend positif /"(^) et /"(.a;), mais/'(^) négatif; pour x=zi, f {x) est positif, mais f{x) est négatif et, comme finalement 3 rend f{x) positif, c'est une limite supérieure des racines.

Nombre des racines comprises entre deux nombres donnés.

103. Soient a^, a,, a^, ... les racines réelles de/(^) = o, rangées par ordre de grandeurs croissantes; on a

X déterminant les racines imaginaires et ne pouvant, par suite, s'annuler pour aucune valeur réelle de x. Si l'on prend x inférieur à aj et si on le fait croître jusqu'à ce qu'il passe par une valeur supérieure à la plus grande racine réelle, le signe d'un facteur et, par suite, le signe du produit changent chaque fois que x passe par une racine : f{x) doit donc prendre le même signe pour des valeurs de x comprenant un nombre pair de racines et de signes opposés pour des valeurs de x comprenant un nombre impair de racines. Donc

Si f{a) et f{b) ont le même signe, il y a un nombre pair de racines entre a et h; si a et h sont de signes contraires, il y a un nombre impair de racines entre a et b.

Par exemple, si, dans une équation dont le dernier terme est ± «„, on fait successivement x égal à — 00, o et -+■ ce, on obtient, pour/(^)

± co, ± a,i, -+- co,

on a + co pour x z= — 00 si l'équation est de degré pair et — 00 si elle est de degré impair; i\ en résulte qu'««e équation de degré impair a au moins une racine réelle de signe contraire à son dernier terme, et une équation de degré pair à une racine positive et une racine négative au moins, si son dernier terme est négatif.

SÉPARATION DES RACINES. IjZ

Théorème de Descartes.

104. Lorsque deux termes consécutifs d'une équation ont le même signe, on dit qu'ils forment une permanence; lorsqu'ils ont des signes contraires, ils forment une variation.

Descartes a démontré le théorème suivant :

Une équation ne saurait avoir plus de racines positives que de variations, ni plus de racines négatives que de permanences.

Pour démontrer ce théorème, nous considérerons une équation quelconque ordonnée suivant les puissances décroissantes de X, et en la multipliant par x — a, nous introduirons la racine positive a. Nous allons voir que, quels que soient les signes des termes, cette multiplication introduit une variation au moins.

Le premier terme ^" de l'équation peut être censé positif; la première variation se rencontre dès que l'on arrive à un terme négatif et, comme il est précédé d'un terme positif, ces deux termes seront

Un des termes de la nouvelle équation sera alors

— {aan-p+ f'n-p+l )-vP-

On ignore si le terme précédent est positif, mais ce que l'on sait, c'est qu'il existe au moins un terme précédent positif et si, par suite, on parcourt la suite des termes depuis le premier jusqu'au terme en xp, on rencontrera au moins une variation, comme dans la première équation à xp-'^. Si, en parcourant la suite des termes jusqu'au terme en xp, on rencontre plus d'une variation, on en rencontrera évidemment un nombre impair, carie changement d'un signe ne peut jamais produire une augmentation ou diminution d'un nombre impair de variations.

La première variation que l'on rencontre ensuite se trouve

quand on parvient à un terme positif. Supposons que ce terme soit en x'J, on montrera, comme tout à l'heure, que le terme en .r^+i dans la nouvelle équation est positif, de sorte que, quels que soient les signes précédents, il y a, entre xp et xi^'^, au moins une variation dans la nouvelle équation; en continuant ainsi on verra qu'en arrivant au terme *•'" dans l'ancienne équation, et au terme j?'+* dans la nouvelle, on a, dans cette dernière, rencontré au moins autant de variations que dans la première. Supposons que, après avoir passé par le terme en x^' dans la première équation, on ne rencontre plus de variations, soit ±: k le coefficient de x'', tous les termes qui suivent ont le signe de k\ dans la nouvelle équation, le terme en x''^'^ a le signe de A, tandis que le dernier terme est — aa^, qui est de signe contraire à k. Si donc on parcourt la suite des termes à partir de ic''+\ on rencontre encore au moins une variation dans la nouvelle équation; comme la suite des termes jusqu'à ^'■^"' (inclus) présentait au moins autant de variations que dans l'ancienne équation, il faut nécessairement que la nouvelle équation présente au moins une variation de plus que l'ancienne.

Supposons maintenant que l'on ait divisé le premier membre de f^x) ^o par tous les facteurs linéaires qui correspondent aux racines positives ; l'équation que l'on obtient n'a plus que les racines négatives et imaginaires de l'ancienne équation ; et l'on ne sait rien sur le nombre de ses variations. Réintroduisons successivement les facteurs que l'on avait supprimés, à chaque fois on introduit au moins une nouvelle variation.

Quand on a réintégré toutes les racines positives, on retombe sur l'équation primitive, qui doit avoir autant de variations au moins que de racines positives. En changeant x en — X, on établit la seconde partie du théorème.

Le nombre total des variations et des permanences d'une équation de degré n est précisément n. Si donc cette équation a toutes ses racines réelles, le nombre des variations est égal au nombre des racines positives, le nombre des permanences est égal au nombre des racines négatives.

SÉPARATION DES RACINES. irjB

Si un OU plusieurs coefficients sont nuls, on peut les regarder à volonté comme positifs ou négatifs, une variation infiniment petite dans un coefficient ne pouvant changer le signe d'une racine (en faisant abstraction du cas où l'équation a une racine nulle). On peut donc, quand il y a des termes nuls, les remplacer par d'autres choisis de manière à rendre minimum le nombre des variations et des permanences. Si l'on a un terme nul entre deux de signes contraires, on peut le supposer positif ou négatif à volonté, car

donne une variation et une permanence, quel que soit le signe que l'on mette à la place de o. Si, au contraire, il se trouve un terme nul entre deux de mêmes signes, l'équation a au moins deux racines imaginaires; car, si l'on a

on peut, pour compter le nombre des variations, supposer que l'on a

et, pour compter le nombre des i)ermanences, supposer que l'on a

la somme du nombre des variations et du nombre des permanences sera donc de deux unités moindres au moins que le degré de l'équation, ce qui montre qu'elle a au moins deux racines imaginaires.

Lorsque la somme du nombre des variations et du nombre des permanences n'est pas égale au nombre des racines réelles la différence est un nombre pair; cela résulte de ce que l'introduclion d'une racine positive correspond à l'introduction d'un nombre impair de variations, et à ce qu'une équation qui n'a que des racines imaginaires a un nombre pair de variations (son dernier terme est positif).

Exemple :

lyQ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

On peut lire

et l'équation a au plus deux racines positives et une racine négative; elle a donc au moins quatre racines imaginaires.

Théorème de Budan.

105. Les théorèmes de Descartes et de Newton sont des cas particuliers d'un théorème de Budan; ce théorème a aussi été donné par Fourier, qui l'a développé dans ses leçons; mais il a été puhlié avant par Budan.

Considérons la suite

et substituons à la place de x les nombres a, b où a <. b.

L'équation f (a;) ^o n'a pas plus de racines entre a et b que de variations perdues par la suite précédente, quand on passe de a à b.

On voit facilement que quand l'une des fonctions de la suite passe par zéro, la précédente et la suivante sont de signes contraires; si l'on considère f'p-{a:), par exemple, on a

fyp){x^h)=fp'{x) -^fu>+y\x)h^. . .; pour/f^^(^) = G et pour h infiniment petit

fi'{-r^ — l>) et fi>+'{x)

ont des signes contraires ;//'-*-H.^^) elf''{x + h) ont le même signe sif^p'> (a:) eif''i'+^'>{x) ne sont pas nuls à la fois. Si donc deux dérivées consécutives ne sont pas nulles en même temps, il faut qu'il se perde une variation quand x traverse une racine de la première. Si l'on considère alors la suite

f^P-^\x), fp^ix), f^P^'^ix),

on voit que si/^^'(x) s'annule, il se perdra une variation par les deux dernières fonctions, tandis que par les deux premières il se gagnera ou se perdra une variation ; ainsi quand f^p^{jc) s'annule, il se perd deux ou zéro variations; quand /(:r) s'annule, il se perd toujours une variation, puisqu'il n'existe aucune fonction avant. On arrive ainsi au résultat suivant : Il se perd au moins une variation chaque fois que l'on passe par une racine de l'équation f{x) =: o, il peut s'en perdre plus qu'il n'y a de racines, mais l'excès est pair.

106. Il faut examiner le cas particulier où plusieurs fonctions consécutives s'annulent; soit J'-p~^^{^) la dernière d'entre elles; on a

j\,j-i}Çr—/i) = +f'i>^{x) — +..., /</^-2)(.r+//)=/(/')(.r) -^ +..., f.i>-z)(x—h) = —f'/'\.r) -^ +..., /(P-3)(,r+//) =fp\.v) Y^ -+-••.,

Les fonctions qui s'annulent à la fois présentent, avant le passage par zéro, uniquement des variations et, après le passage, elles ne présentent que des permanences; de sorte que, dans ce cas, il y a encore perte de variations. Dans le cas particulier où les p premières fonctions s'annulent l'équation a p racines égales et il se perd alors p variations. Le théorème est donc applicable à tous les cas et, en particulier, aux racines multiples.

Si l'on pose x = — oc, la suite n'a que des variations; si l'on fail^ = o, on obtient les signes des coefficients de l'équation; si l'on fait x = -{-œ, on n'a plus que des permanences. C'est justement le théorème de Descartes, qu'on obtient ici comme cas particulier du théorème de Budan.

Si l'on remplace x par un nombre k qui ne donne que des permanences, il n'y aura pas de racines entre A et oc; k sera donc une limite supérieure des racines ; de sorte que le théorème de Newton est aussi contenu dans celui de Budan. P. 12

Si /(«) et f{b) sont de signes contraires, tous les autres termes de la suite conservant les mômes signes pour ^ = a et .r = b, il n'y a qu'une racine entre a et b, car on a vu qu'entre a et Z> il y a un nombre impair de racines, et il n'y a eu qu'une variation perdue. Dans ce cas la racine est séparée par a et b, il faut cependant remarquer que la séparation ne pourra pas toujours se faire par ce procédé, parce que plusieurs fonctions de la suite peuvent s'annuler avec/(^), et qu'il peut ainsi se perdre à la fois plusieurs variations.

Au moyen de la suite considérée, on peut se procurer une limite supérieure du nombre des racines comprises entre deux nombres donnés, mais la considérai ion de la suite ne permet pas d'affirmer l'existence de racines imaginaires, car de —00 à +00 il se perd toujours le même nombre de variations, que l'équation ait ou n'ait pas de racines imaginaires.

Théorème de RoUe.

107. Si a et b sont deux racines consécutives de V équation f{x)z=.o, r équation f\x)z= o a au moins une racine comprise entre a et 6, en tout cas un nombre impair de racines comprises entre ces limites.

Puisque /(^) est une fonction continue, comme elle s'annule pour x=ia et x^zb,e,\\e, ne peut aller sans cesse en croissant ou sans cesse en décroissant; elle doit donc passer par un maximum ou un minimum pour une valeur de x comprise entre a et Z^ et cette valeur est racine ùe. f {x) := o.

La fonction peut avoir plusieurs maxima ou minima, mais comme elle ne s'annule pas entre a et b, il faut bien, si elle commence par croître, qu'elle finisse par décroître ou, si elle commence par décroître, qu'elle finisse par croître; il est facile de voir qu'il en résulte un nombre impair de maxima ou de minima. La considération de la courbe / =:f{x) rend ces développements évidents.

Il résulte de là qu'entre deux racines consécutives de f'{x) = 0, il ne peut y avoir plus d'une racine de f{x) = o;

SÉPARATIO.N DES UACINES. I79

car s'il y en avait deux, entre celles-ci il y aurait une racine de /'(^) = o. 11 en résulte que, quand f{x)^zio a toutes ses racines réelles, f'{^) a aussi toutes ses racines réelles; que si f{oc), pour X ^=: a, a p racines égales, f {ce) = o, pour cette même valeur, a p — i racines égales.

Exemple :

f{.r) = X'" -\- pjc'^ -h fj = o (m cl // sont impairs).

La règle de Descartes montre que l'équation a une ou trois racines réelles. Or

f'{.r) = mx"-^ ( j-"'-«+ — ] •

1° Si p est positif, f'{x) n'a d'autre racine réelle que j; = o : donc/(.2:) =o n'a qu'une racine réelle;

2° p est négatif . f'{x) =:oaune racine nulle et deux autres racines réelles : appelons-les — b et h- 6 ; f{x) =^ o peut avoir trois racines réelles dans les intervalles (« — i est pair):

— -X, — b, -i- h. -1- ce,

ces valeurs, portées dans/(j;), donnent les signes

si les trois racines réelles existent ; pour qu'il en soit ainsi il faut que

— hm —pbn-^— q^

ou, en remplaçant b par sa valeur et en simplifiant,

\in — n J \ m )

La condition pour que

X^ -\- px -j- <jf = o

ait trois racines réelles est

l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Théorème de Sturm.

108. Nous avons remarqué que ce qui empêchait le théorème de Budan de donner le nombre exact des racines réelles comprises dans un intervalle, c'est que lorsqu'un terme de la suite s'annule il peut se perdre des variations, sans que /(:;) passe par zéro. Sturm a tourné cette difficulté en faisant usage d'une autre suite qui jouit de celte propriété que, lorsqu'un terme de la suite s'annule, ceux qui le comprennent sont de signes contraires de sorte que le nombre de variations n'est pas altéré quand un terme intermédiaire de la suite passe par zéro. La suite de Sturm a pour premiers termes, comme celle de Budan, /(^) et/'(.r); les autres termes sont les restes que l'on obtient en appliquant à ceuxci la méthode du plus grand commun diviseur en ayant soin de changer chaque fois les signes de ces restes et en n'introduisant que des facteurs positifs pour éviter les fractions. Nous supposerons l'équation débarrassée de ses racines multiples : /{or) etf'{.x) n'auront pas alors de facteurs communs et le dernier reste sera indépendant de jr; les termes de la suite sont donc f{x), f'{^) et les restes changés de signes; nous les désignerons par

/(■^■), f'i-^). M^r), /3(,r), ..., fnix);

alors, en désignant par un q les quotients et par un c des facteurs positifs,

CiMx) = cjif-iix) -/i(.r),

Ces restes donnent lieu aux remarques suivantes :

Deux termes consécutifs de la suite f{x), f {x), f-iix), ne peuvent s'annuler pour une même valeur de x.

SÉPARATION DES RACINES. lOI

En efiet, s'il en était ainsi, tous les restes, jusqu'au dernier, seraient nuls, et l'équation aurait des racines égales.

Si un terme de la suite [excepté f (ce)] s'annule, celui qui le précède et celui qui le suit sont de signes contraires.

Par exemple, pour/3(^) = 0, on a c^f.,{x) =:—f.,{x). Si l'on fait varier x à.Q — 00 à +00, les termes de la suite ne pourront changer de signe qu'en passant par zéro; donc il ne se perdra pas de variation, puisque, quand un terme s'annule, celui qui le précède et celui qui le suit sont de signes contraires, de sorte que, avant comme après le passage par zéro, les trois termes considérés forment une variation et une permanence. Cette conclusion ne s'applique pas au premier et au dernier terme de la suite, qui n'en ont pas avant ou après eux. Mais le dernier terme est indépendant de x et ne saurait changer de signe et, en vertu de ce qui a été dit(l05), il se perd une variation quand /(^) change de signe. La suite considérée perd donc une variation toutes les fois que x passe par une racine de f{x) =1 o. Ainsi :

Si, dans la suite de Sturm, on fait xr=^a et x^i^h, le nombre des variations perdues est égal au nombre des racines comprises entre a et b {b> a).

Quand la valeur substituée annule un terme de la suite de Sturm, suivant le premier, on peut le supposer égal à + o ou à — o. Si le premier terme est nul, c'est une racine de l'équalion, et si l'on veut le faire entrer dans la suite, il faudra faire commencer cette suite par une variation ou une permanence, suivant que la racine en question sera une limite supérieure ou une limite inférieure de l'intervalle considéré.

Lorsqu'un terme de la suite de Sturm ne change pas de signe dans l'intervalle considéré, on peut arrêter la suite à ce terme. En effet, la démonstration du théorème de Sturm suppose seulement que le dernier terme de la suite conserve toujours le même signe, et il est indifférent que ce terme soit ou non fonction de x.